Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura 0 graus para todo t > 0. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que alpha^2 = 1.
(a) u(x, t) = 50, 0 < x < 40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a condução de calor em uma barra de 40 cm de comprimento, onde as extremidades estão sempre a . A gente precisa encontrar a expressão para a temperatura ao longo da barra conforme o tempo passa, começando com uma distribuição inicial de temperatura para todo . Vamos usar a Equação de Calor e Séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Calor, que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo e do espaço numa barra:
Nesse caso, foi dado que , então a equação simplifica para:

Passo 3

Como as extremidades da barra estão mantidas a , temos condições de contorno do tipo de Dirichlet:
Além disso, a condição inicial é:

Passo 4

Para resolver essa equação com essas condições, usamos Séries de Fourier, que nos permite expressar a solução como uma soma infinita de funções senoidais que satisfazem as condições de contorno.
A solução geral fica assim:
Onde:
  • cm é o comprimento da barra.
  • são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a 40 para isolar cada :

Passo 6

Calculando a integral:
Observamos que para par, , e para ímpar, . Então, apenas os termos ímpares contribuem:
í

Passo 7

Substituindo de volta na solução geral, temos:
Aqui, é um inteiro não negativo que nos ajuda a considerar apenas os termos ímpares.

Resposta

A expressão para a temperatura na barra é:

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