Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura
para todo
. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura
quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a condução de calor em uma barra de 40 cm de comprimento, onde as extremidades estão sempre a
. A gente precisa encontrar a expressão para a temperatura
ao longo da barra conforme o tempo passa, começando com uma distribuição inicial de temperatura
para todo
. Vamos usar a Equação de Calor e Séries de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Calor, que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo e do espaço numa barra:
Nesse caso, foi dado que
, então a equação simplifica para:
Passo 3
Como as extremidades da barra estão mantidas a
, temos condições de contorno do tipo de Dirichlet:
Além disso, a condição inicial é:
Passo 4
Para resolver essa equação com essas condições, usamos Séries de Fourier, que nos permite expressar a solução
como uma soma infinita de funções senoidais que satisfazem as condições de contorno.
A solução geral fica assim:
Onde:
-
cm é o comprimento da barra. -
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Multiplicamos ambos os lados por
e integramos de 0 a 40 para isolar cada
:
Passo 6
Calculando a integral:
Observamos que para
par,
, e para
ímpar,
. Então, apenas os termos ímpares contribuem:
Passo 7
Substituindo
de volta na solução geral, temos:
Aqui,
é um inteiro não negativo que nos ajuda a considerar apenas os termos ímpares.
Resposta
A expressão para a temperatura
na barra é: