Mostre que
é diferenciável em
e encontre a linearização
de
no ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função
é diferenciável no ponto
e, em seguida, encontrar a linearização
de
nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de
existem no ponto
. As derivadas parciais são necessárias para determinar a diferenciabilidade da função e para construir a linearização.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, substituindo
e
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, substituindo
e
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, temos
e
. Agora, vamos verificar a condição de diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear nesse ponto, ou seja:
Além disso, precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade é zero.
Passo 6
Calculamos
:
Então, a aproximação linear é:
Passo 7
Para garantir que
é diferenciável em
, precisamos mostrar que:
Substituindo
e
:
Analisando esse limite, percebemos que conforme
se aproxima de
, o numerador tende a zero mais rápido que o denominador, garantindo que o limite é zero.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
e a linearização de
nesse ponto é: