Mostre que é diferenciável em e encontre a linearização de no ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função é diferenciável no ponto e, em seguida, encontrar a linearização de nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de existem no ponto . As derivadas parciais são necessárias para determinar a diferenciabilidade da função e para construir a linearização.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de em relação a :
No ponto , substituindo e :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
No ponto , substituindo e :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, temos e . Agora, vamos verificar a condição de diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear nesse ponto, ou seja:
Além disso, precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade é zero.

Passo 6

Calculamos :
Então, a aproximação linear é:

Passo 7

Para garantir que é diferenciável em , precisamos mostrar que:
Substituindo e :
Analisando esse limite, percebemos que conforme se aproxima de , o numerador tende a zero mais rápido que o denominador, garantindo que o limite é zero.

Resposta

A função é diferenciável no ponto e a linearização de nesse ponto é:

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(b) .
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(a) .