Considere uma corda elástica de comprimento 10 cujas extremidades são fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial
, supondo
encontre a função que descreve o movimento da corda em cada um dos casos abaixo:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda elástica de comprimento 10 com as pontas fixas. Ela é movimentada a partir de uma posição inicial
sem velocidade inicial e com
(velocidade da onda). Nosso objetivo é encontrar a função que descreve o movimento da corda ao longo do tempo para o caso específico onde:
Vamos precisar usar a teoria das equações de onda e as séries de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação da onda para uma corda fixa nas extremidades é dada por:
Como as extremidades estão fixas (
) e temos uma condição inicial de deslocamento
com velocidade inicial zero, podemos expressar a solução
como uma série de senos de Fourier. Isso porque as funções seno satisfazem as condições de contorno fixas.
Passo 3
A solução geral para o movimento da corda pode ser escrita como:
Onde:
-
é o comprimento da corda. -
e são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada modo.
Como a velocidade inicial é zero (
), isso nos diz que todos os
. Então, a solução simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. Eles são determinados a partir da condição inicial de deslocamento
:
Para encontrar
, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções definidas no intervalo
:
Substituindo
e
pela função dada, a gente divide a integral em duas partes, de
a
e de
a
:
Simplificando:
Essas integrais podem ser resolvidas por integração por partes, mas vou pular os detalhes aqui. O importante é entender que cada
captura como cada modo de vibração contribui para a forma inicial da corda.
Resposta
A função que descreve o movimento da corda é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
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Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura
para todo
. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura
quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que
.
(a)
(a)
Mostre que
é diferenciável em
e encontre a linearização
de
no ponto.
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(a) .
(a)
Determine se as funções abaixo são periódicas e determine seu período.
(b) .
(b)