Considere uma corda elástica de comprimento 10 cujas extremidades são fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial , supondo encontre a função que descreve o movimento da corda em cada um dos casos abaixo:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda elástica de comprimento 10 com as pontas fixas. Ela é movimentada a partir de uma posição inicial sem velocidade inicial e com (velocidade da onda). Nosso objetivo é encontrar a função que descreve o movimento da corda ao longo do tempo para o caso específico onde:
Vamos precisar usar a teoria das equações de onda e as séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação da onda para uma corda fixa nas extremidades é dada por:
Como as extremidades estão fixas ( ) e temos uma condição inicial de deslocamento com velocidade inicial zero, podemos expressar a solução como uma série de senos de Fourier. Isso porque as funções seno satisfazem as condições de contorno fixas.

Passo 3

A solução geral para o movimento da corda pode ser escrita como:
Onde:
  • é o comprimento da corda.
  • e são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada modo.
Como a velocidade inicial é zero ( ), isso nos diz que todos os . Então, a solução simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . Eles são determinados a partir da condição inicial de deslocamento :
Para encontrar , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções definidas no intervalo :
Substituindo e pela função dada, a gente divide a integral em duas partes, de a e de a :
Simplificando:
Essas integrais podem ser resolvidas por integração por partes, mas vou pular os detalhes aqui. O importante é entender que cada captura como cada modo de vibração contribui para a forma inicial da corda.

Resposta

A função que descreve o movimento da corda é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:

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Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura para todo . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que .
(a)
Mostre que é diferenciável em e encontre a linearização de no ponto.
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(a) .
Determine se as funções abaixo são periódicas e determine seu período.
(b) .