Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Isso faz parte do estudo de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Isso vai nos dar a altura da superfície nesse ponto.
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Lembra que a derivada parcial em relação a
é como se a gente derivasse
tratando
como constante.
No ponto
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
como constante.
No ponto
:
Então,
.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(b) .
(b)
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
Mostre que
é diferenciável em
e encontre a linearização
de
no ponto.
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura
para todo
. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura
quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que
.
(a)
(a)