Considere a cônica definida parametricamente por :
Classifique a cônica;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cônica definida pelas equações paramétricas:
O objetivo é descobrir que tipo de cônica é essa. Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em uma equação geral de uma cônica e, então, identificar de qual tipo estamos falando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica nos dá as coordenadas e em função de um parâmetro, que aqui é . Para identificar a cônica, precisamos eliminar esse parâmetro e obter uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos isolar e nas equações paramétricas. Da equação de :
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Da equação de :
Podemos isolar :

Passo 5

Sabemos que, para qualquer , a identidade trigonométrica é válida:
Vamos substituir as expressões que encontramos para e nessa identidade.

Passo 6

Substituindo:
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Essa é a equação padrão de uma elipse, que tem a forma:
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 8

Comparando as duas equações, vemos que:
  • Centro:
  • , então
  • , então

Resposta

A cônica é uma elipse com centro no ponto , semi-eixo maior igual a 4 e semi-eixo menor igual a 2.

Exercícios relacionados

Determine a soma das distâncias do ponto aos focos da cônica definida pela equação
Seja a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .
Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Considere a cônica definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).