Considere a cônica
definida parametricamente por :
Classifique a cônica;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cônica definida pelas equações paramétricas:
O objetivo é descobrir que tipo de cônica é essa. Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em uma equação geral de uma cônica e, então, identificar de qual tipo estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica nos dá as coordenadas
e
em função de um parâmetro, que aqui é
. Para identificar a cônica, precisamos eliminar esse parâmetro
e obter uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos isolar
e nas equações paramétricas. Da equação de
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Da equação de
:
Podemos isolar :
Passo 5
Sabemos que, para qualquer
, a identidade trigonométrica é válida:
Vamos substituir as expressões que encontramos para
e nessa identidade.
Passo 6
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Essa é a equação padrão de uma elipse, que tem a forma:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 8
Comparando as duas equações, vemos que:
- Centro:
-
, então -
, então
Resposta
A cônica
é uma elipse com centro no ponto
, semi-eixo maior igual a 4 e semi-eixo menor igual a 2.
Exercícios relacionados
Determine a soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica definida pela equação
Seja
a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola
definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).