Considere a cônica C definida parametricamente por :
C:l x(theta)=1+4 cdot cos (theta), theta in[0,2 cdot pi) y(theta)=2 cdot sen(theta)
Classifique a cônica;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cônica definida pelas equações paramétricas:
C:l x(theta)=1+4 cdot cos (theta), theta in[0,2 cdot pi) y(theta)=2 cdot sen(theta)
O objetivo é descobrir que tipo de cônica é essa. Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações paramétricas em uma equação geral de uma cônica e, então, identificar de qual tipo estamos falando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica nos dá as coordenadas e em função de um parâmetro, que aqui é . Para identificar a cônica, precisamos eliminar esse parâmetro e obter uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos isolar x = 1 + 4 cos(theta) e nas equações paramétricas. Da equação de cos(theta) = x - 14 :
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Da equação de y = 2 cdot sen(theta) :
Podemos isolar :

Passo 5

Sabemos que, para qualquer cos^2(theta) + sen^2(theta) = 1 , a identidade trigonométrica é válida:
Vamos substituir as expressões que encontramos para e nessa identidade.

Passo 6

Substituindo:
(x - 14)^2 + (y2)^2 = 1
Vamos simplificar isso:
(x - 1)^216 + y^24 = 1

Passo 7

Essa é a equação padrão de uma elipse, que tem a forma:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 8

Comparando as duas equações, vemos que:
  • Centro:
  • , então
  • , então

Resposta

A cônica é uma elipse com centro no ponto , semi-eixo maior igual a 4 e semi-eixo menor igual a 2.

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