Considere a cônica C definida parametricamente por :
C:l x(theta)=1+4 cdot cos (theta), theta in[0,2 cdot pi) y(theta)=2 cdot sen(theta)
Obtenha a equação reduzida da cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu o enunciado de um exercício que pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica definida de forma paramétrica. Isso quer dizer que temos as equações de e em função de um parâmetro . Vamos precisar usar um pouco de trigonometria e álgebra para eliminar esse parâmetro e chegar à equação da cônica na forma cartesianas .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que nos foram dadas:
C: l x(theta) = 1 + 4 cdot cos(theta) y(theta) = 2 cdot sin(theta)
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro dessas equações para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para x = 1 + 4 cdot cos(theta) Rightarrow cos(theta) = x - 14 . Temos:
y = 2 cdot sin(theta) Rightarrow sin(theta) = y2
Da mesma forma, da segunda equação, podemos resolver para :

Passo 4

Agora, lembre-se da identidade trigonométrica fundamental:
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
Vamos substituir ( x - 14 )^2 + ( y2 )^2 = 1 e pelas expressões que encontramos em termos de e :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para colocar na forma padrão de uma elipse. Calculando cada termo:
(x - 1)^216 + y^24 = 1

Resposta

A equação reduzida da cônica é:
(x - 1)^216 + y^24 = 1

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