Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu o enunciado de um exercício que pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica definida de forma paramétrica. Isso quer dizer que temos as equações de e em função de um parâmetro . Vamos precisar usar um pouco de trigonometria e álgebra para eliminar esse parâmetro e chegar à equação da cônica na forma cartesianas .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que nos foram dadas:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro dessas equações para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para . Temos:
Da mesma forma, da segunda equação, podemos resolver para :

Passo 4

Agora, lembre-se da identidade trigonométrica fundamental:
Vamos substituir e pelas expressões que encontramos em termos de e :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para colocar na forma padrão de uma elipse. Calculando cada termo:

Resposta

A equação reduzida da cônica é:

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Classifique a cônica;
Determine a soma das distâncias do ponto aos focos da cônica definida pela equação
Considere a cônica definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).
Remova o termo da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.