Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu o enunciado de um exercício que pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica definida de forma paramétrica. Isso quer dizer que temos as equações de
e
em função de um parâmetro
. Vamos precisar usar um pouco de trigonometria e álgebra para eliminar esse parâmetro e chegar à equação da cônica na forma cartesianas
.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que nos foram dadas:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
dessas equações para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação para
. Temos:
Da mesma forma, da segunda equação, podemos resolver para
:
Passo 4
Agora, lembre-se da identidade trigonométrica fundamental:
Vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos em termos de
e
:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para colocar na forma padrão de uma elipse. Calculando cada termo:
Resposta
A equação reduzida da cônica é:
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Considere a cônica
definida parametricamente por :
Classifique a cônica;
Determine a soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica definida pela equação
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).
Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.