Considere a cônica definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma cônica definida por equações paramétricas. Nosso objetivo é identificar os elementos principais dessa cônica, como focos e vértices. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma cônica pode ser representada de várias formas, e aqui ela está dada em termos de . As equações paramétricas são:
Isso sugere que estamos lidando com uma elipse, já que temos termos de e com diferentes coeficientes.

Passo 3

Vamos reescrever essas equações para a forma padrão da elipse. A forma padrão é:
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 4

Comparando com nossas equações paramétricas:
  • O termo sugere que e .
  • O termo sugere que e .
Então, o centro da elipse é , com semi-eixo maior e semi-eixo menor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão localizados ao longo do eixo maior, a uma distância do centro. Como e o centro é :
  • Vértice à direita: , então .
  • Vértice à esquerda: , então .

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior.

Passo 7

Calculando as coordenadas dos focos:
  • Foco à direita: , então .
  • Foco à esquerda: , então .

Passo 8

Finalmente, resumindo os elementos principais:
  • Centro da elipse:
  • Semi-eixo maior ( ):
  • Semi-eixo menor ( ):
  • Vértices: e
  • Focos: e

Resposta

A cônica é uma elipse com centro em , vértices nos pontos e , e focos em e . Os semi-eixos têm comprimentos e .

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Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
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Classifique a cônica;
Remova o termo da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
a) Qual é o vetor do que nesta base tem coordenadas ?
b) Calcule as coordenadas do vetor nesta base.