Considere a cônica
definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma cônica definida por equações paramétricas. Nosso objetivo é identificar os elementos principais dessa cônica, como focos e vértices. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma cônica pode ser representada de várias formas, e aqui ela está dada em termos de
. As equações paramétricas são:
Isso sugere que estamos lidando com uma elipse, já que temos termos de
e
com diferentes coeficientes.
Passo 3
Vamos reescrever essas equações para a forma padrão da elipse. A forma padrão é:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 4
Comparando com nossas equações paramétricas:
- O termo
sugere que e . - O termo
sugere que e .
Então, o centro da elipse é
, com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão localizados ao longo do eixo maior, a uma distância
do centro. Como
e o centro é
:
- Vértice à direita:
, então . - Vértice à esquerda:
, então .
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior.
Passo 7
Calculando as coordenadas dos focos:
- Foco à direita:
, então . - Foco à esquerda:
, então .
Passo 8
Finalmente, resumindo os elementos principais:
- Centro da elipse:
- Semi-eixo maior (
): - Semi-eixo menor (
): - Vértices:
e - Focos:
e
Resposta
A cônica
é uma elipse com centro em
, vértices nos pontos
e
, e focos em
e
. Os semi-eixos têm comprimentos
e
.
Exercícios relacionados
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Classifique a cônica;
Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
a) Qual é o vetor do
que nesta base tem coordenadas
?
b) Calcule as coordenadas do vetor nesta base.
b) Calcule as coordenadas do vetor