Considere a cônica C definida parametricamente por :
C:l x(theta)=1+4 cdot cos (theta), theta in[0,2 cdot pi) y(theta)=2 cdot sen(theta)
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma cônica definida por equações paramétricas. Nosso objetivo é identificar os elementos principais dessa cônica, como focos e vértices. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma cônica pode ser representada de várias formas, e aqui ela está dada em termos de theta. As equações paramétricas são:
C:l x(theta) = 1 + 4 cdot cos (theta) y(theta) = 2 cdot sin (theta)
Isso sugere que estamos lidando com uma elipse, já que temos termos de cos e sin com diferentes coeficientes.

Passo 3

Vamos reescrever essas equações para a forma padrão da elipse. A forma padrão é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 4

Comparando com nossas equações paramétricas:
  • O termo x(theta) = 1 + 4 cdot cos (theta) sugere que h = 1 e a = 4.
  • O termo y(theta) = 2 cdot sin (theta) sugere que k = 0 e b = 2.
Então, o centro da elipse é (1, 0), com semi-eixo maior a = 4 e semi-eixo menor b = 2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão localizados ao longo do eixo maior, a uma distância a do centro. Como a = 4 e o centro é (1, 0):
  • Vértice à direita: 1 + 4 = 5, então (5, 0).
  • Vértice à esquerda: 1 - 4 = -3, então (-3, 0).

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores:
c = raiz4^2 - 2^2 = raiz16 - 4 = raiz12 = 2raiz3
Então, os focos estão a uma distância c = 2raiz3 do centro ao longo do eixo maior.

Passo 7

Calculando as coordenadas dos focos:
  • Foco à direita: 1 + 2raiz3, então (1 + 2raiz3, 0).
  • Foco à esquerda: 1 - 2raiz3, então (1 - 2raiz3, 0).

Passo 8

Finalmente, resumindo os elementos principais:
  • Centro da elipse: (1, 0)
  • Semi-eixo maior ( a): 4
  • Semi-eixo menor ( b): 2
  • Vértices: (5, 0) e (-3, 0)
  • Focos: (1 + 2raiz3, 0) e (1 - 2raiz3, 0)

Resposta

A cônica C é uma elipse com centro em (1, 0), vértices nos pontos (5, 0) e (-3, 0), e focos em (1 + 2raiz3, 0) e (1 - 2raiz3, 0). Os semi-eixos têm comprimentos a = 4 e b = 2.

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