Seja a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole com a equação
e precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que satisfaz duas propriedades:
  1. O foco da parábola é o vértice da hipérbole que está mais próximo do ponto .
  2. A diretriz da parábola é a reta vertical .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre hipérboles e parábolas, especialmente como identificar vértices, focos e diretrizes dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices da hipérbole dada. A equação geral de uma hipérbole com eixo transverso no eixo é:
onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo , e está relacionado à abertura da hipérbole.
No nosso caso, a equação é:
Comparando com a forma geral, vemos que , , e . Portanto, os vértices estão em . Então, os vértices são em e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual desses vértices será o foco da parábola. A propriedade (P.1) diz que o foco da parábola é o vértice da hipérbole mais próximo do ponto .
Vamos calcular a distância de cada vértice ao ponto :
Para :
Para :
Então, o vértice mais próximo é . Portanto, o foco da parábola será em .

Passo 4

A propriedade (P.2) nos dá a diretriz da parábola: a reta vertical . Sabemos que uma parábola pode ser definida pelo seu foco e pela sua diretriz.
A distância entre o foco e a diretriz é . Sabendo que em uma parábola horizontal, a distância entre o vértice e o foco é , e a distância entre o vértice e a diretriz também é .
Aqui, como o foco está em e a diretriz é , o vértice da parábola estará no meio entre o foco e a diretriz. Então, a coordenada x do vértice é:
Portanto, o vértice está em .
Sabemos que a distância entre o vértice e o foco é (já que ).

Passo 5

Com o vértice em e a parábola abrindo para a direita (pois o foco está à direita do vértice), a equação padrão da parábola é:
onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

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