Seja
a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola
definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole
, sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical
.
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole com a equação
e precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que satisfaz duas propriedades:
- O foco da parábola é o vértice da hipérbole que está mais próximo do ponto
. - A diretriz da parábola é a reta vertical
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre hipérboles e parábolas, especialmente como identificar vértices, focos e diretrizes dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices da hipérbole dada. A equação geral de uma hipérbole com eixo transverso no eixo
é:
onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo
, e
está relacionado à abertura da hipérbole.
No nosso caso, a equação é:
Comparando com a forma geral, vemos que
,
,
e
. Portanto, os vértices estão em
. Então, os vértices são em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual desses vértices será o foco da parábola. A propriedade (P.1) diz que o foco da parábola é o vértice da hipérbole mais próximo do ponto
.
Vamos calcular a distância de cada vértice ao ponto
:
Para
:
Para
:
Então, o vértice mais próximo é
. Portanto, o foco da parábola será em
.
Passo 4
A propriedade (P.2) nos dá a diretriz da parábola: a reta vertical
. Sabemos que uma parábola pode ser definida pelo seu foco e pela sua diretriz.
A distância entre o foco e a diretriz é
. Sabendo que em uma parábola horizontal, a distância entre o vértice e o foco é
, e a distância entre o vértice e a diretriz também é
.
Aqui, como o foco está em
e a diretriz é
, o vértice da parábola estará no meio entre o foco e a diretriz. Então, a coordenada x do vértice é:
Portanto, o vértice está em
.
Sabemos que a distância
entre o vértice e o foco é
(já que
).
Passo 5
Com o vértice em
e a parábola abrindo para a direita (pois o foco está à direita do vértice), a equação padrão da parábola é:
onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja a transformação linear
dada por
. Ou seja,
transforma um vetor
do
em um polinômio na variável
, de grau menor ou igual a um. Calcule
. A seguir, determine o núcleo e a imagem de
.
Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Determine a soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica definida pela equação
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Classifique a cônica;