Seja H a hipérbole dada pela equação
x^225-y^29=1
Encontre a equação reduzida da parábola P definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole H, sob o eixo transverso, mais próximo do ponto (5,3)
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical x=3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole com a equação
x^225 - y^29 = 1
e precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que satisfaz duas propriedades:
  1. O foco da parábola é o vértice da hipérbole que está mais próximo do ponto (5,3).
  2. A diretriz da parábola é a reta vertical x = 3.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre hipérboles e parábolas, especialmente como identificar vértices, focos e diretrizes dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices da hipérbole dada. A equação geral de uma hipérbole com eixo transverso no eixo x é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
onde (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e b está relacionado à abertura da hipérbole.
No nosso caso, a equação é:
x^225 - y^29 = 1
Comparando com a forma geral, vemos que h = 0, k = 0, a^2 = 25 e b^2 = 9. Portanto, os vértices estão em (h pm a, k) = (pm5, 0). Então, os vértices são em (5, 0) e (-5, 0).

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual desses vértices será o foco da parábola. A propriedade (P.1) diz que o foco da parábola é o vértice da hipérbole mais próximo do ponto (5,3).
Vamos calcular a distância de cada vértice ao ponto (5,3):
Para (5, 0):
raiz(5-5)^2 + (3-0)^2 = raiz0 + 9 = 3
Para (-5, 0):
raiz(5 - (-5))^2 + (3 - 0)^2 = raiz100 + 9 = raiz109 approx 10.44
Então, o vértice mais próximo é (5, 0). Portanto, o foco da parábola será em (5, 0).

Passo 4

A propriedade (P.2) nos dá a diretriz da parábola: a reta vertical x = 3. Sabemos que uma parábola pode ser definida pelo seu foco e pela sua diretriz.
A distância entre o foco e a diretriz é |5 - 3| = 2. Sabendo que em uma parábola horizontal, a distância entre o vértice e o foco é c, e a distância entre o vértice e a diretriz também é c.
Aqui, como o foco está em (5, 0) e a diretriz é x = 3, o vértice da parábola estará no meio entre o foco e a diretriz. Então, a coordenada x do vértice é:
5 + 32 = 4
Portanto, o vértice está em (4, 0).
Sabemos que a distância p entre o vértice e o foco é 1 (já que 5 - 4 = 1).

Passo 5

Com o vértice em (4, 0) e a parábola abrindo para a direita (pois o foco está à direita do vértice), a equação padrão da parábola é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
onde (h, k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco.
Substituindo os valores:
(y - 0)^2 = 4 times 1 times (x - 4)
Simplificando:
y^2 = 4(x - 4)

Resposta

y^2 = 4(x - 4)

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