Determine a soma das distâncias do ponto P(4, 95) aos focos da cônica definida pela equação
9 x^2=225-25 y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar a soma das distâncias do ponto aos focos da cônica definida pela equação .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e seus focos. Precisamos identificar qual é a cônica dada, encontrar seus focos e depois calcular as distâncias do ponto a cada foco, somando essas distâncias ao final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é 9x^2225 = 1 - 25y^2225 . Vamos reorganizar para uma forma padrão.
Dividimos ambos os lados por 225:
x^225 + y^29 = 1
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse, pois é a soma de duas frações iguais a 1 com denominadores diferentes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os focos da elipse. Para uma elipse com equação a^2 = 25 e b^2 = 9 , onde c = raiz25 - 9 = raiz16 = 4 , os focos estão localizados em , onde .
No nosso caso:
Portanto, os focos são e .

Passo 4

Com os focos identificados, agora vamos calcular as distâncias do ponto d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 a cada foco.
Primeiro, a distância entre d1 = raiz(4 - 4)^2 + (95 - 0)^2 = raiz0 + (95)^2 = 95 e o primeiro foco :
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos e :
Então:

Passo 5

Agora, a distância entre d2 = raiz(4 - (-4))^2 + (95 - 0)^2 = raiz(8)^2 + (95)^2 = raiz64 + 8125 = raiz160025 + 8125 = raiz168125 = 415 e o segundo foco :

Resposta

A soma das distâncias do ponto 95 + 415 = 505 = 10 aos focos da cônica é:
Portanto, a soma das distâncias é 10.

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