Determine a soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica definida pela equação
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar a soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica definida pela equação
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e seus focos. Precisamos identificar qual é a cônica dada, encontrar seus focos e depois calcular as distâncias do ponto
a cada foco, somando essas distâncias ao final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é
. Vamos reorganizar para uma forma padrão.
Dividimos ambos os lados por 225:
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse, pois é a soma de duas frações iguais a 1 com denominadores diferentes.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os focos da elipse. Para uma elipse com equação
, onde
, os focos estão localizados em
, onde
.
No nosso caso:
Portanto, os focos são
e
.
Passo 4
Com os focos identificados, agora vamos calcular as distâncias do ponto
a cada foco.
Primeiro, a distância entre
e o primeiro foco
:
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Então:
Passo 5
Agora, a distância entre
e o segundo foco
:
Resposta
A soma das distâncias do ponto
aos focos da cônica é:
Portanto, a soma das distâncias é 10.