Determine a soma das distâncias do ponto aos focos da cônica definida pela equação

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar a soma das distâncias do ponto aos focos da cônica definida pela equação .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e seus focos. Precisamos identificar qual é a cônica dada, encontrar seus focos e depois calcular as distâncias do ponto a cada foco, somando essas distâncias ao final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é . Vamos reorganizar para uma forma padrão.
Dividimos ambos os lados por 225:
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse, pois é a soma de duas frações iguais a 1 com denominadores diferentes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os focos da elipse. Para uma elipse com equação , onde , os focos estão localizados em , onde .
No nosso caso:
Portanto, os focos são e .

Passo 4

Com os focos identificados, agora vamos calcular as distâncias do ponto a cada foco.
Primeiro, a distância entre e o primeiro foco :
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos e :
Então:

Passo 5

Agora, a distância entre e o segundo foco :

Resposta

A soma das distâncias do ponto aos focos da cônica é:
Portanto, a soma das distâncias é 10.

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Seja a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .
Seja a transformação linear dada por . Ou seja, transforma um vetor do em um polinômio na variável , de grau menor ou igual a um. Calcule . A seguir, determine o núcleo e a imagem de .
Considere a cônica definida parametricamente por :
Classifique a cônica;
Considere a cônica definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.