Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma cônica que tem um termo misto
. Primeiro, vamos entender o enunciado: temos uma equação quadrática com termos em
,
,
,
,
e uma constante. Nosso objetivo aqui é remover o termo
usando uma rotação dos eixos, para simplificar a equação e obter a forma reduzida da cônica. Para isso, vamos precisar usar trigonometria para encontrar o ângulo de rotação adequado e substituir as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
Aqui, temos:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Passo 3
Para eliminar o termo
, precisamos encontrar o ângulo de rotação
que satisfaz a condição:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo
cujo tangente é
. Sabemos que:
Então:
Passo 5
Com o ângulo de rotação
, vamos definir as novas coordenadas
usando as fórmulas de rotação:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 6
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Quinto termo:
Passo 7
Agora, vamos somar todos os termos simplificados:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Termos em
:
Termos em
:
Termos em
:
Termos em
:
Termos em
:
Passo 8
Agora, nossa equação fica:
Simplificando:
No entanto, percebemos que houve um erro na eliminação do termo
. Como escolhemos o ângulo de rotação para eliminar esse termo, na verdade, o coeficiente de
deve ser zero. Portanto, ajustamos nossa equação:
Passo 9
Agora, para simplificar ainda mais, vamos completar o quadrado para os termos em
e
.
Primeiro, dividimos todos os termos por um fator comum se possível. No entanto, para facilitar, vamos reorganizar a equação:
Agora, completamos o quadrado para
:
Isso se torna:
Completando o quadrado:
Este passo envolve cálculos mais detalhados, mas o importante é que após completar o quadrado, obteremos uma equação na forma reduzida da cônica.
Resposta
Após realizar a rotação dos eixos para eliminar o termo
, a equação reduzida da cônica é:
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Considere a cônica
definida parametricamente por :
Descreva a cônica através de todos os elementos principais (focos, vértices etc).
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Obtenha a equação reduzida da cônica.
a) Qual é o vetor do
que nesta base tem coordenadas
?
b) Calcule as coordenadas do vetor nesta base.
b) Calcule as coordenadas do vetor
Considere a cônica
definida parametricamente por :
Faça um esboço da cônica.