a) Qual é o vetor do R^3 que nesta base tem coordenadas (1,2,3) ?
b) Calcule as coordenadas do vetor v=(1,0,3) nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que cada parte da questão está pedindo e entender qual é a matéria envolvida. Na parte a), a gente precisa encontrar o vetor no espaço tridimensional R^3 que, em uma base específica, tem as coordenadas (1,2,3). Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e mudança de base. Na parte b), temos um vetor dado e queremos descobrir quais são as suas coordenadas nessa mesma base. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar vetores em diferentes bases e como manipular coordenadas em espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Primeiro, precisamos lembrar que um vetor em R^3 pode ser representado como uma combinação linear dos vetores da base escolhida. Ou seja, se nossa base é formada pelos vetores b1, b2 e b3, então qualquer vetor v pode ser escrito como:
v = c1b1 + c2b2 + c3b3
onde c1, c2 e c3 são as coordenadas do vetor v nessa base.

Passo 3

No exercício, as coordenadas do vetor são dadas como (1,2,3). Então, substituindo na expressão acima, temos:
v = 1b1 + 2b2 + 3b3
Isso significa que o vetor que estamos procurando é a combinação linear dos vetores da base, ponderada pelos coeficientes 1, 2 e 3 respectivamente.

Passo 4

Agora, para a parte b), queremos encontrar as coordenadas do vetor v = (1,0,3) na mesma base. Isso significa que queremos encontrar os valores de c1, c2 e c3 tais que:
(1,0,3) = c1b1 + c2b2 + c3b3
Para resolver isso, geralmente montamos um sistema de equações onde cada componente do vetor do lado esquerdo é igual à combinação linear das componentes dos vetores da base multiplicados pelos coeficientes correspondentes.

Passo 5

Vamos supor que os vetores da base b1, b2 e b3 são conhecidos. Por exemplo, suponha que:
b1 = (a1, a2, a3), b2 = (b1, b2, b3), b3 = (c1, c2, c3)
Então, a equação fica:
(1,0,3) = c1(a1, a2, a3) + c2(b1, b2, b3) + c3(c1, c2, c3)
Que se traduz em um sistema de três equações:
1 = c1 a1 + c2 b1 + c3 c1 0 = c1 a2 + c2 b2 + c3 c2 3 = c1 a3 + c2 b3 + c3 c3
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de c1, c2 e c3, que são as coordenadas do vetor v na base dada.

Resposta

a) O vetor em R^3 com coordenadas (1,2,3) na base dada é v = 1b1 + 2b2 + 3b3.
b) As coordenadas do vetor v = (1,0,3) na mesma base são os valores de c1, c2 e c3 que resolvem o sistema de equações:
1 = c1 a1 + c2 b1 + c3 c1 0 = c1 a2 + c2 b2 + c3 c2 3 = c1 a3 + c2 b3 + c3 c3

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