a) Qual é o vetor do que nesta base tem coordenadas ?
b) Calcule as coordenadas do vetor nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que cada parte da questão está pedindo e entender qual é a matéria envolvida. Na parte a), a gente precisa encontrar o vetor no espaço tridimensional que, em uma base específica, tem as coordenadas . Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e mudança de base. Na parte b), temos um vetor dado e queremos descobrir quais são as suas coordenadas nessa mesma base. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar vetores em diferentes bases e como manipular coordenadas em espaços vetoriais.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Primeiro, precisamos lembrar que um vetor em pode ser representado como uma combinação linear dos vetores da base escolhida. Ou seja, se nossa base é formada pelos vetores , e , então qualquer vetor pode ser escrito como:
onde , e são as coordenadas do vetor nessa base.
Passo 3
No exercício, as coordenadas do vetor são dadas como . Então, substituindo na expressão acima, temos:
Isso significa que o vetor que estamos procurando é a combinação linear dos vetores da base, ponderada pelos coeficientes 1, 2 e 3 respectivamente.
Passo 4
Agora, para a parte b), queremos encontrar as coordenadas do vetor na mesma base. Isso significa que queremos encontrar os valores de , e tais que:
Para resolver isso, geralmente montamos um sistema de equações onde cada componente do vetor do lado esquerdo é igual à combinação linear das componentes dos vetores da base multiplicados pelos coeficientes correspondentes.
Passo 5
Vamos supor que os vetores da base , e são conhecidos. Por exemplo, suponha que:
Então, a equação fica:
Que se traduz em um sistema de três equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de c1, c2 e c3, que são as coordenadas do vetor v na base dada.
Resposta
a) O vetor em R^3 com coordenadas (1,2,3) na base dada é v = 1b1 + 2b2 + 3b3.
b) As coordenadas do vetor v = (1,0,3) na mesma base são os valores de c1, c2 e c3 que resolvem o sistema de equações: