Considere a cônica C definida parametricamente por :
C:l x(theta)=1+4 cdot cos (theta), theta in[0,2 cdot pi) y(theta)=2 cdot sen(theta)
Faça um esboço da cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço da cônica definida pelas equações paramétricas dadas. Isso envolve trabalhar com geometria analítica, especificamente com cônicas como elipses, parábolas ou hipérboles. Para resolver, a gente vai precisar transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana e identificar os principais elementos da cônica, como o centro, eixos, e direções.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que a gente tem:
x(theta) = 1 + 4 cdot cos(theta) y(theta) = 2 cdot sin(theta)
Aqui, varia de 0 a , e para cada valor de , a gente tem um ponto na cônica.

Passo 3

O próximo passo é eliminar o parâmetro cos(theta) = x - 14 e trazer essas equações para uma forma mais familiar, tipo uma equação cartesiana. Para isso, vamos isolar sin(theta) = y2 e nas duas equações:
Da equação de :
Da equação de :

Passo 4

Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 e (x - 14)^2 + (y2)^2 = 1 :
Vamos substituir as expressões que encontramos:

Passo 5

Essa é a equação padrão de uma elipse! Nessa forma geral:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
onde é o centro da elipse, é o raio maior e é o raio menor.
Comparando com a nossa equação:
  • Centro
  • (como )
  • (como )

Passo 6

Agora que já sabemos que é uma elipse e seus parâmetros, vamos esboçar:
  • Centro: no ponto
  • Eixo maior: ao longo do eixo , vai de até
  • Eixo menor: ao longo do eixo , vai de até

Resposta

A cônica é uma elipse com centro no ponto , estendendo-se de até no eixo horizontal e de até no eixo vertical. O esboço da elipse reflete esses valores, mostrando uma forma alargada horizontalmente.

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