Considere a cônica
definida parametricamente por :
Faça um esboço da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço da cônica definida pelas equações paramétricas dadas. Isso envolve trabalhar com geometria analítica, especificamente com cônicas como elipses, parábolas ou hipérboles. Para resolver, a gente vai precisar transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana e identificar os principais elementos da cônica, como o centro, eixos, e direções.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações paramétricas que a gente tem:
Aqui,
varia de 0 a
, e para cada valor de
, a gente tem um ponto
na cônica.
Passo 3
O próximo passo é eliminar o parâmetro
e trazer essas equações para uma forma mais familiar, tipo uma equação cartesiana. Para isso, vamos isolar
e
nas duas equações:
Da equação de
:
Da equação de
:
Passo 4
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
e
:
Vamos substituir as expressões que encontramos:
Passo 5
Essa é a equação padrão de uma elipse! Nessa forma geral:
onde
é o centro da elipse,
é o raio maior e
é o raio menor.
Comparando com a nossa equação:
- Centro
-
(como ) -
(como )
Passo 6
Agora que já sabemos que é uma elipse e seus parâmetros, vamos esboçar:
- Centro: no ponto
- Eixo maior: ao longo do eixo
, vai de até - Eixo menor: ao longo do eixo
, vai de até
Resposta
A cônica é uma elipse com centro no ponto
, estendendo-se de
até
no eixo horizontal e de
até
no eixo vertical. O esboço da elipse reflete esses valores, mostrando uma forma alargada horizontalmente.
Exercícios relacionados
a) Qual é o vetor do
que nesta base tem coordenadas
?
b) Calcule as coordenadas do vetor nesta base.
b) Calcule as coordenadas do vetor
Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Seja
uma transformação linear em
dada por
Determine dimensão da imagem de
Seja o conjunto
, sendo
e
, determine
subespaço gerado