Seja uma transformação linear em dada por Determine dimensão da imagem de
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação linear que pega um vetor no espaço tridimensional e transforma em outro vetor . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão da imagem dessa transformação, ou seja, quantos vetores diferentes a transformação pode produzir. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como determinar a imagem delas usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que qualquer transformação linear de para pode ser escrita como uma multiplicação de matriz. Olhando para , podemos associar cada componente do vetor resultante com as variáveis .
Então, a matriz associada a será:
Passo 3
Agora que temos a matriz , queremos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando por algum vetor . A dimensão da imagem de é conhecida como o posto da matriz , ou seja, o número de colunas linearmente independentes em .
Para encontrar o posto, vamos colocar a matriz em forma escalonada e ver quantas linhas não nulas ela tem.
Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para ter um pivô diferente de zero na primeira posição:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Já que as outras linhas têm zero na primeira coluna, não precisamos fazer mais nada aqui. Passamos para a segunda coluna, mas vemos que todas as entradas nessa coluna são zero, então não há pivôs nessa coluna.
Por fim, olhamos para a terceira coluna. O segundo pivô é 1, e na terceira linha temos -1. Vamos adicionar a segunda linha à terceira para eliminar esse -1:
Passo 5
Após colocar a matriz em forma escalonada, vemos que há duas linhas com elementos diferentes de zero. Isso significa que o posto da matriz é 2. Portanto, a dimensão da imagem de é 2.