Seja T uma transformação linear em R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-z,-z) Determine dimensão da imagem de T

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear que pega um vetor no espaço tridimensional e transforma em outro vetor . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão da imagem dessa transformação, ou seja, quantos vetores diferentes a transformação pode produzir. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como determinar a imagem delas usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 0 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 por uma matriz. Sabemos que qualquer transformação linear de para pode ser escrita como uma multiplicação de matriz. Olhando para , podemos associar cada componente do vetor resultante com as variáveis .
Então, a matriz associada a será:

Passo 3

Agora que temos a matriz 0 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 , queremos encontrar a imagem de 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando por algum vetor . A dimensão da imagem de é conhecida como o posto da matriz , ou seja, o número de colunas linearmente independentes em .
Para encontrar o posto, vamos colocar a matriz em forma escalonada e ver quantas linhas não nulas ela tem.
Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para ter um pivô diferente de zero na primeira posição:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Já que as outras linhas têm zero na primeira coluna, não precisamos fazer mais nada aqui. Passamos para a segunda coluna, mas vemos que todas as entradas nessa coluna são zero, então não há pivôs nessa coluna.
Por fim, olhamos para a terceira coluna. O segundo pivô é 1, e na terceira linha temos -1. Vamos adicionar a segunda linha à terceira para eliminar esse -1:
1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 5

Após colocar a matriz em forma escalonada, vemos que há duas linhas com elementos diferentes de zero. Isso significa que o posto da matriz é 2. Portanto, a dimensão da imagem de é 2.

Resposta

A dimensão da imagem de é 2.

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