Seja o conjunto A=v 1, v 2, sendo v 1=(-1,3,-) e v 2=(1,-2,4), determine O subespaço gerado G(A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe fala sobre um conjunto de vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Temos o conjunto , onde e . O que a gente precisa descobrir é o subespaço gerado por esse conjunto de vetores. Basicamente, vamos ver todos os possíveis vetores que podemos formar combinando e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço gerado por um conjunto de vetores. No caso, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores e . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais (escalars).

Passo 3

Vamos então montar essa combinação linear com os vetores que temos:
c1 cdot (-1, 3, -1) + c2 cdot (1, -2, 4) = (-c1 + c2,, 3c1 - 2c2,, -c1 + 4c2)
Aqui, e são quaisquer números reais. Isso significa que qualquer vetor no subespaço terá essas coordenadas, dependendo dos valores que escolhermos para e .

Passo 4

Para descrever melhor o subespaço, podemos escrever de forma paramétrica:
x = -c1 + c2 y = 3c1 - 2c2 z = -c1 + 4c2
Isso nos mostra que o subespaço é formado por todos os pontos que satisfazem essas equações, variando e em .

Passo 5

Outra forma de representar G(A) = c1 -1 3 -1 + c2 1 -2 4 ,g|, c1, c2 in R é usando vetores coluna. Podemos escrever:
Isso reforça a ideia de que estamos combinando os vetores e escalando cada um deles por números reais e .

Resposta

Então, o subespaço gerado por G(A) = c1 -1 3 -1 + c2 1 -2 4 ,g|, c1, c2 in R é:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser obtido combinando os vetores e com coeficientes escalares e .

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