Seja o conjunto , sendo e , determine subespaço gerado
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe fala sobre um conjunto de vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Temos o conjunto , onde e . O que a gente precisa descobrir é o subespaço gerado por esse conjunto de vetores. Basicamente, vamos ver todos os possíveis vetores que podemos formar combinando e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço gerado por um conjunto de vetores. No caso, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores e . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais (escalars).
Passo 3
Vamos então montar essa combinação linear com os vetores que temos:
Aqui, e são quaisquer números reais. Isso significa que qualquer vetor no subespaço terá essas coordenadas, dependendo dos valores que escolhermos para e .
Passo 4
Para descrever melhor o subespaço, podemos escrever de forma paramétrica:
Isso nos mostra que o subespaço é formado por todos os pontos que satisfazem essas equações, variando e em .
Passo 5
Outra forma de representar é usando vetores coluna. Podemos escrever:
Isso reforça a ideia de que estamos combinando os vetores e escalando cada um deles por números reais e .
Resposta
Então, o subespaço gerado por é:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser obtido combinando os vetores e com coeficientes escalares e .