Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é
. Obtenha a equação reduzida em coordenadas cartesianas e identifique a cônica. Encontre também as coordenadas cartesianas de seu centro, focos e vértices.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica em coordenadas polares:
. Nosso objetivo é transformar essa equação para coordenadas cartesianas, descobrir que tipo de cônica é essa (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e encontrar as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dessa cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. Sabemos que:
Também sabemos que:
E:
Passo 3
Substituímos
na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 4
Isolamos
:
Mas sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Expandindo o lado direito:
Passo 7
Levamos todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 8
Completamos o quadrado para encontrar a forma canônica da equação. Para o termo em
:
Substituímos na equação:
\
Passo 9
Isolamos os termos constantes:
Dividimos ambos os lados por 8:
Passo 10
Reconhecemos que esta é a equação de uma elipse, já que ambos os termos têm sinais positivos e os denominadores são diferentes.
Passo 11
Para encontrar o centro da elipse, observamos os termos
e
, o que nos indica que o centro está em
.
Os semi-eixos são
no eixo
e
no eixo
. Portanto, os vértices estão a uma distância de
do centro ao longo do eixo maior.
Passo 12
Como é uma elipse, os focos estão localizados ao longo do eixo maior. A distância dos focos ao centro é dada por:
Então, os focos estão a 2 unidades do centro em direções opostas ao longo do eixo
:
Resposta
A equação reduzida em coordenadas cartesianas é
, que representa uma elipse.
- Centro:
- Focos:
e - Vértices:
e