Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é r=2raiz2+cos theta. Obtenha a equação reduzida em coordenadas cartesianas e identifique a cônica. Encontre também as coordenadas cartesianas de seu centro, focos e vértices.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica em coordenadas polares: . Nosso objetivo é transformar essa equação para coordenadas cartesianas, descobrir que tipo de cônica é essa (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e encontrar as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dessa cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. Sabemos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
Também sabemos que:
r = raizx^2 + y^2
E:
cos theta = xr

Passo 3

Substituímos r = 2raiz2 + xr na equação original:
r (raiz2 + xr) = 2
Multiplicando ambos os lados por r raiz2 + x = 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 4

Isolamos r raiz2 = 2 - x Rightarrow r = 2 - xraiz2 :
raizx^2 + y^2 = 2 - xraiz2
Mas sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + y^2 = ( 2 - xraiz2 )^2
x^2 + y^2 = (2 - x)^22

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
2x^2 + 2y^2 = (2 - x)^2
Expandindo o lado direito:
2x^2 + 2y^2 = 4 - 4x + x^2

Passo 7

Levamos todos os termos para um lado da equação:
2x^2 + 2y^2 - 4 + 4x - x^2 = 0
Simplificando:
x^2 + 2y^2 + 4x - 4 = 0

Passo 8

Completamos o quadrado para encontrar a forma canônica da equação. Para o termo em x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 :
(x + 2)^2 - 4 + 2y^2 - 4 = 0
Substituímos na equação:
(x + 2)^2 + 2y^2 - 8 = 0
\

Passo 9

Isolamos os termos constantes:
(x + 2)^2 + 2y^2 = 8
Dividimos ambos os lados por 8:
(x + 2)^28 + y^24 = 1

Passo 10

Reconhecemos que esta é a equação de uma elipse, já que ambos os termos têm sinais positivos e os denominadores são diferentes.

Passo 11

Para encontrar o centro da elipse, observamos os termos e , o que nos indica que o centro está em .
Os semi-eixos são no eixo e no eixo . Portanto, os vértices estão a uma distância de do centro ao longo do eixo maior.

Passo 12

Como é uma elipse, os focos estão localizados ao longo do eixo maior. A distância dos focos ao centro é dada por:
c = raiza^2 - b^2 = raiz8 - 4 = raiz4 = 2
Então, os focos estão a 2 unidades do centro em direções opostas ao longo do eixo (-2 + 2, 0) = (0, 0) e (-2 - 2, 0) = (-4, 0) :

Resposta

A equação reduzida em coordenadas cartesianas é , que representa uma elipse.
  • Centro:
  • Focos: e
  • Vértices: e

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A equação da diretriz da parábola de foco F=(2,3) e vértice V=(0,3) é:
(a) y=4
(b) x=-2
© x=4
(d) x=3
(e) y=-2
Considere as seguintes afirmações
(I) A cônica de equação y^2-1=2 x^2 possui um único vértice.
(II) A parábola de equação (x-2)=12(y-2)^2 tem diretriz vertical.
(III) A curva de equações paramétricas lx=2 sec (t) y=2 tan (t), t in[0,2 pi), t neq pi / 2,3 pi / 2 é uma hipérbole de centro (2,2).
Então:
(a) apenas as afirmações (I) e (I I I) são verdadeiras.
(b) apenas as afirmações (I I) e (III) são verdadeiras.
© apenas a afirmação (I I) é verdadeira.
(d) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(e) todas as afirmações são verdadeiras.
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