Considere as seguintes afirmações
(I) A cônica de equação
possui um único vértice.
(II) A parábola de equação
tem diretriz vertical.
(III) A curva de equações paramétricas
é uma hipérbole de centro
.
Então:
(a) apenas as afirmações
e
são verdadeiras.
(b) apenas as afirmações
e (III) são verdadeiras.
© apenas a afirmação
é verdadeira.
apenas a afirmação
é verdadeira.
todas as afirmações são verdadeiras.
(I) A cônica de equação
(II) A parábola de equação
(III) A curva de equações paramétricas
Então:
(a) apenas as afirmações
(b) apenas as afirmações
© apenas a afirmação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta três afirmações sobre cônicas e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das cônicas (parábolas, hipérboles, etc.), identificar vértices, diretrizes e centros. Vou explicar cada parte passo a passo para deixar tudo claro.
Passo 2
Vamos começar com a Afirmação I:
A cônica de equação
possui um único vértice.
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar o tipo de cônica. A equação dada é:
Podemos rearranjar para:
Isso se parece com a equação geral de uma parábola, que tem a forma
. No entanto, aqui temos um
igual a algo envolvendo
, o que sugere que é uma hipérbole.
Em uma hipérbole padrão centrada na origem, temos:
Comparando com nossa equação
, podemos reescrever como:
Isso confirma que é uma hipérbole.
Agora, sobre os vértices: uma hipérbole tem dois vértices, que são os pontos mais próximos no eixo principal. Como nossa hipérbole está centrada na origem, os vértices são simétricos em relação ao centro.
Portanto, a afirmação de que há um único vértice está errada.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
A parábola de equação
tem diretriz vertical.
Primeiro, identificamos que esta é a equação de uma parábola. A forma geral de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda é:
Onde
é o vértice e
determina a distância do vértice à diretriz e ao foco.
Comparando com nossa equação:
Isso indica que a parábola está centrada em
e abre horizontalmente. A diretriz de uma parábola que abre para a direita é uma linha vertical.
Portanto, a afirmação de que a diretriz é vertical está correta.
Passo 4
Vamos para a Afirmação III:
A curva de equações paramétricas
é uma hipérbole de centro
.
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana. Sabemos que:
Da equação
, temos
.
Substituindo na equação de
:
Mas, usando a identidade
:
Substituindo de volta:
Arrumando:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem. No entanto, como
e
, o centro original é
. Parece que houve um erro na afirmação sobre o centro ser
.
Portanto, a afirmação de que a curva é uma hipérbole de centro
está errada.
Resposta
© apenas a afirmação
é verdadeira.
Exercícios relacionados
A equação em coordenadas polares da circunferência de centro
e raio 2 é:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Seja
a reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
:
. Qual dos seguintes pontos NÃO pertence à reta
?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
A equação da diretriz da parábola de foco
e vértice
é:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é
. Obtenha a equação reduzida em coordenadas cartesianas e identifique a cônica. Encontre também as coordenadas cartesianas de seu centro, focos e vértices.