Considere as seguintes afirmações
(I) A cônica de equação y^2-1=2 x^2 possui um único vértice.
(II) A parábola de equação (x-2)=12(y-2)^2 tem diretriz vertical.
(III) A curva de equações paramétricas lx=2 sec (t) y=2 tan (t), t in[0,2 pi), t neq pi / 2,3 pi / 2 é uma hipérbole de centro (2,2).
Então:
(a) apenas as afirmações (I) e (I I I) são verdadeiras.
(b) apenas as afirmações (I I) e (III) são verdadeiras.
© apenas a afirmação (I I) é verdadeira.
(d) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(e) todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta três afirmações sobre cônicas e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das cônicas (parábolas, hipérboles, etc.), identificar vértices, diretrizes e centros. Vou explicar cada parte passo a passo para deixar tudo claro.

Passo 2

Vamos começar com a Afirmação I:
A cônica de equação y^2 - 1 = 2x^2 possui um único vértice.
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar o tipo de cônica. A equação dada é:
y^2 = 2x^2 + 1
Podemos rearranjar para:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Isso se parece com a equação geral de uma parábola, que tem a forma y^2 - 2x^2 = 1 . No entanto, aqui temos um igual a algo envolvendo , o que sugere que é uma hipérbole.
Em uma hipérbole padrão centrada na origem, temos:
Comparando com nossa equação , podemos reescrever como:
Isso confirma que é uma hipérbole.
Agora, sobre os vértices: uma hipérbole tem dois vértices, que são os pontos mais próximos no eixo principal. Como nossa hipérbole está centrada na origem, os vértices são simétricos em relação ao centro.
Portanto, a afirmação de que há um único vértice está errada.

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmação II:
A parábola de equação (y - k)^2 = 4p(x - h) tem diretriz vertical.
Primeiro, identificamos que esta é a equação de uma parábola. A forma geral de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda é:
(y - 2)^2 = 112(x - 2)
Onde é o vértice e determina a distância do vértice à diretriz e ao foco.
Comparando com nossa equação:
Isso indica que a parábola está centrada em e abre horizontalmente. A diretriz de uma parábola que abre para a direita é uma linha vertical.
Portanto, a afirmação de que a diretriz é vertical está correta.

Passo 4

Vamos para a Afirmação III:
A curva de equações paramétricas lx=2 sec (t) y=2 tan (t) é uma hipérbole de centro sec(t) = 1cos(t) .
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro tan(t) = sin(t)cos(t) para encontrar a equação cartesiana. Sabemos que:
y = 2 tan(t) = 2 ( sin(t)cos(t) ) = 2 sin(t) cdot x2 = x sin(t)
sin^2(t) = 1 - cos^2(t) = 1 - ( 2x )^2 = 1 - 4x^2
Da equação y^2 = x^2 (1 - 4x^2) = x^2 - 4 , temos x^24 - y^24 = 1 .
Substituindo na equação de :
Mas, usando a identidade :
Substituindo de volta:
Arrumando:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem. No entanto, como e , o centro original é . Parece que houve um erro na afirmação sobre o centro ser .
Portanto, a afirmação de que a curva é uma hipérbole de centro está errada.

Resposta

© apenas a afirmação (II) é verdadeira.

Exercícios relacionados