Considere a transformação linear
definida por
©
é um isomorfismo? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformação linear! O enunciado nos apresenta uma transformação linear
definida por
. A pergunta é: T é um isomorfismo? Para responder isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo, que é uma transformação linear que é tanto injetora quanto sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora (ou “injetiva”). Uma transformação é injetora se cada elemento do grupo de chegada
é a imagem de, no máximo, um elemento do grupo de partida
. Para verificar isso, podemos olhar para o número de dimensões dos espaços envolvidos. Aqui, estamos indo de 3 dimensões para 2 dimensões.
Passo 3
Agora, vamos considerar a dimensão dos espaços. Em geral, se uma transformação linear entre espaços de dimensão diferente for injetora e sobrejetora, isso implicaria que as dimensões deveriam ser iguais. No nosso caso, estamos indo de 3 dimensões para 2 dimensões, o que já nos dá uma pista de que não pode ser um isomorfismo, porque 3 não é igual a 2.
Passo 4
Além disso, podemos analisar o núcleo da transformação
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
tais que
. Resolvendo as equações:
Da primeira equação, temos
. Da segunda,
. Então, qualquer vetor no núcleo tem a forma
, que pode ser escrito como
. Isso mostra que o núcleo não contém apenas o vetor zero, ou seja, a transformação não é injetora.
Passo 5
Como a transformação
não é injetora, já podemos concluir que ela não é um isomorfismo. Não precisamos verificar a sobrejetividade, já que para ser um isomorfismo, a transformação precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora.
Resposta
Não, a transformação
não é um isomorfismo, porque não é injetora.
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é dada por
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