Considere a transformação linear T: R^3 R^2 definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z)
© T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformação linear! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . A pergunta é: T é um isomorfismo? Para responder isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo, que é uma transformação linear que é tanto injetora quanto sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora (ou “injetiva”). Uma transformação é injetora se cada elemento do grupo de chegada é a imagem de, no máximo, um elemento do grupo de partida . Para verificar isso, podemos olhar para o número de dimensões dos espaços envolvidos. Aqui, estamos indo de 3 dimensões para 2 dimensões.

Passo 3

Agora, vamos considerar a dimensão dos espaços. Em geral, se uma transformação linear entre espaços de dimensão diferente for injetora e sobrejetora, isso implicaria que as dimensões deveriam ser iguais. No nosso caso, estamos indo de 3 dimensões para 2 dimensões, o que já nos dá uma pista de que não pode ser um isomorfismo, porque 3 não é igual a 2.

Passo 4

Além disso, podemos analisar o núcleo da transformação x + y = 0 y + z = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores tais que . Resolvendo as equações:
Da primeira equação, temos . Da segunda, . Então, qualquer vetor no núcleo tem a forma , que pode ser escrito como . Isso mostra que o núcleo não contém apenas o vetor zero, ou seja, a transformação não é injetora.

Passo 5

Como a transformação não é injetora, já podemos concluir que ela não é um isomorfismo. Não precisamos verificar a sobrejetividade, já que para ser um isomorfismo, a transformação precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora.

Resposta

Não, a transformação não é um isomorfismo, porque não é injetora.

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