Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
sumn=0^infty 11^n+2 in! z^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar e descobrir o raio de convergência dela. O enunciado é:
sumn=0^infty 11^n+2in! z^n
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar até onde uma série converge. Basicamente, a gente vai comparar termos consecutivos da série para ver como eles se comportam quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está sendo somado em cada etapa. No nosso caso:
an = 11^n + 2in! z^n
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite da razão entre o termo | an+1an | = | 11^(n+1) + 2i(n+1)! z^n+1 cdot n!11^n + 2i z^n | e = | 11^n+1 cdot 11^2i(n+1) cdot n! z^n+1 cdot n!11^n cdot 11^2i z^n | quando = | 11 cdot zn+1 | tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Vamos calcular essa razão:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando limn to infty | 11 cdot zn+1 | = 0 tende ao infinito:
Como é definitivamente menor que , isso significa que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito .

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