Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar e descobrir o raio de convergência dela. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar até onde uma série converge. Basicamente, a gente vai comparar termos consecutivos da série para ver como eles se comportam quando cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é o que está sendo somado em cada etapa. No nosso caso:
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite da razão entre o termo e quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Vamos calcular essa razão:
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando tende ao infinito:
Como é definitivamente menor que , isso significa que a série converge para todos os valores de .