Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar uma matriz não nula tal que . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes nilpotentes. Vamos precisar entender o que é uma matriz nilpotente e como construir uma matriz que, elevada ao cubo, resulte na matriz nula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz é considerada nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que , onde é a matriz nula. No nosso caso, queremos que , ou seja, .
Passo 3
Para construir uma matriz nilpotente de índice 3, podemos usar uma matriz de Jordan. A matriz de Jordan com autovalor zero é uma forma conveniente para representar matrizes nilpotentes. Uma matriz de Jordan com zero na diagonal e 1 na superdiagonal fica assim: