Encontre uma matriz não nula tal que .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar uma matriz não nula tal que . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes nilpotentes. Vamos precisar entender o que é uma matriz nilpotente e como construir uma matriz que, elevada ao cubo, resulte na matriz nula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz é considerada nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que , onde é a matriz nula. No nosso caso, queremos que , ou seja, .

Passo 3

Para construir uma matriz nilpotente de índice 3, podemos usar uma matriz de Jordan. A matriz de Jordan com autovalor zero é uma forma conveniente para representar matrizes nilpotentes. Uma matriz de Jordan com zero na diagonal e 1 na superdiagonal fica assim:

Passo 4

Vamos verificar se essa matriz realmente satisfaz . Vamos calcular as potências de :
Primeiro, calculamos :

[
J^{2} = J \times J =
\times


]
Em seguida, calculamos :

[
J^{3} = J^{2} \times J =
\times


]
Como resultado, , que é exatamente o que queremos.

Passo 5

Então, a matriz que estamos procurando é a matriz de Jordan que construímos:

Resposta

Uma matriz não nula que satisfaz é:

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