Seja
uma matriz tal que
para qualquer matriz
de tipo
. Mostre que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz
que, quando multiplicada por qualquer outra matriz
de tamanho
, comuta, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente sobre como matrizes comutam.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa
para qualquer matriz
. Isso implica que a matriz
deve ter uma forma especial que garante que a multiplicação com qualquer
não depende da ordem. Vamos supor uma matriz geral
.
Passo 3
Vamos calcular
e
separadamente:
Passo 4
Como
para qualquer
, as entradas correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar as entradas:
Passo 5
Vamos analisar cada equação:
-
simplifica para . Como isso deve ser válido para quaisquer e , a única solução possível é e . -
Com
, a segunda equação se torna . Para qualquer , isso implica que .
Passo 6
Portanto, chegamos às seguintes conclusões:
Resposta
Assim, mostramos que
,
e
.