Seja A=(lla & b c & d) uma matriz tal que A B=B A para qualquer matriz B de tipo 2 times 2. Mostre que a=d, b=0 e d=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz a & b c & d que, quando multiplicada por qualquer outra matriz de tamanho , comuta, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente sobre como matrizes comutam.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa w & x y & z para qualquer matriz . Isso implica que a matriz deve ter uma forma especial que garante que a multiplicação com qualquer não depende da ordem. Vamos supor uma matriz geral .

Passo 3

Vamos calcular AB = a & b c & d w & x y & z = a w + b y & a x + b z c w + d y & c x + d z e BA = w & x y & z a & b c & d = w a + x c & w b + x d y a + z c & y b + z d separadamente:

Passo 4

Como para qualquer , as entradas correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar as entradas:

Passo 5

Vamos analisar cada equação:
  1. simplifica para . Como isso deve ser válido para quaisquer e , a única solução possível é e .
  2. Com , a segunda equação se torna . Para qualquer , isso implica que .

Passo 6

Portanto, chegamos às seguintes conclusões:

Resposta

Assim, mostramos que , e .

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