Seja uma matriz tal que para qualquer matriz de tipo . Mostre que e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz que, quando multiplicada por qualquer outra matriz de tamanho , comuta, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente sobre como matrizes comutam.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa para qualquer matriz . Isso implica que a matriz deve ter uma forma especial que garante que a multiplicação com qualquer não depende da ordem. Vamos supor uma matriz geral .

Passo 3

Vamos calcular e separadamente:

Passo 4

Como para qualquer , as entradas correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar as entradas:

Passo 5

Vamos analisar cada equação:
  1. simplifica para . Como isso deve ser válido para quaisquer e , a única solução possível é e .
  2. Com , a segunda equação se torna . Para qualquer , isso implica que .

Passo 6

Portanto, chegamos às seguintes conclusões:

Resposta

Assim, mostramos que , e .

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Encontre uma matriz não nula tal que .
Encontre condições sobre e d para que valha a igualdade
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Considere a matriz . Encontre soluções não-triviais (isto é, com ) dos sistemas e , onde é uma matriz coluna . Mostre que o sistema não possui solução não-trivial. Dica: é a mesma coisa dizer que ou que .