Seja uma matriz tal que para qualquer matriz de tipo . Mostre que e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz que, quando multiplicada por qualquer outra matriz de tamanho , comuta, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente sobre como matrizes comutam.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa para qualquer matriz . Isso implica que a matriz deve ter uma forma especial que garante que a multiplicação com qualquer não depende da ordem. Vamos supor uma matriz geral .
Passo 3
Vamos calcular e separadamente:
Passo 4
Como para qualquer , as entradas correspondentes das duas matrizes devem ser iguais. Vamos igualar as entradas:
Passo 5
Vamos analisar cada equação:
simplifica para . Como isso deve ser válido para quaisquer e , a única solução possível é e .
Com , a segunda equação se torna . Para qualquer , isso implica que .