Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
16 x^2-48 x-112-9 y^2-12 y=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas x y ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas x y, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica no plano 16 x^2 - 48 x - 112 - 9 y^2 - 12 y = 0 :
Queremos colocar essa equação em uma forma reduzida, identificar que tipo de cônica é, e encontrar suas características principais. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e e usar os conceitos de geometria analítica relacionados a cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação para agrupar os de 16 x^2 - 48 x - 9 y^2 - 12 y = 112 e os de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para os de .

Passo 3

Para os termos de 16 x^2 - 48 x = 16 ( x^2 - 3x ) :
x^2 - 3x = ( x - 32 )^2 - 94
Completando o quadrado dentro do parênteses:
16 ( x^2 - 3x ) = 16 ( ( x - 32 )^2 - 94 ) = 16 ( x - 32 )^2 - 36
Então,

Passo 4

Agora, para os termos de -9 y^2 - 12 y = -9 ( y^2 + 43 y ) :
y^2 + 43 y = ( y + 23 )^2 - 49
Completando o quadrado dentro do parênteses:
-9 ( y^2 + 43 y ) = -9 ( ( y + 23 )^2 - 49 ) = -9 ( y + 23 )^2 + 4
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
16 ( x - 32 )^2 - 36 - 9 ( y + 23 )^2 + 4 = 112
Simplificando os termos constantes:
16 ( x - 32 )^2 - 9 ( y + 23 )^2 - 32 = 112
Adicionando 32 em ambos os lados:
16 ( x - 32 )^2 - 9 ( y + 23 )^2 = 144

Passo 6

Agora, dividimos os dois lados por 144 para obter a forma padrão:
16 ( x - 32 )^2144 - 9 ( y + 23 )^2144 = 1
Simplificando as frações:
( x - 32 )^29 - ( y + 23 )^216 = 1

Passo 7

Comparando com a forma padrão da hiperbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Podemos identificar que , , e . Assim, a cônica representada é uma hipérbole.

Resposta

(a) Após completar o quadrado e simplificar, a equação da hiperbole na forma reduzida é
( x - 32 )^29 - ( y + 23 )^216 = 1
Identificamos que a cônica é uma hipérbole.

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