Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica no plano :
Queremos colocar essa equação em uma forma reduzida, identificar que tipo de cônica é, e encontrar suas características principais. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e e usar os conceitos de geometria analítica relacionados a cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação para agrupar os de e os de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para os de .

Passo 3

Para os termos de :
Completando o quadrado dentro do parênteses:
Então,

Passo 4

Agora, para os termos de :
Completando o quadrado dentro do parênteses:
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando 32 em ambos os lados:

Passo 6

Agora, dividimos os dois lados por 144 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:

Passo 7

Comparando com a forma padrão da hiperbole:
Podemos identificar que , , e . Assim, a cônica representada é uma hipérbole.

Resposta

(a) Após completar o quadrado e simplificar, a equação da hiperbole na forma reduzida é
Identificamos que a cônica é uma hipérbole.

Exercícios relacionados

Sejam e . Obtenha os pontos de que distam de . Em seguida, verifique se a distância do ponto á reta é maior, menor ou igual a e justifique sua resposta.
Dê um exemplo de duas matrizes e de mesmo tamanho tais que
Escreva a equação do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos dois vetores e .
Sejam e vetores não nulos e . Sabendo que
determine os possíveis valores de para que: