Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica no plano
:
Queremos colocar essa equação em uma forma reduzida, identificar que tipo de cônica é, e encontrar suas características principais. Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de
e
e usar os conceitos de geometria analítica relacionados a cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação para agrupar os de
e os de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e para os de
.
Passo 3
Para os termos de
:
Completando o quadrado dentro do parênteses:
Então,
Passo 4
Agora, para os termos de
:
Completando o quadrado dentro do parênteses:
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando 32 em ambos os lados:
Passo 6
Agora, dividimos os dois lados por 144 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 7
Comparando com a forma padrão da hiperbole:
Podemos identificar que
,
,
e
. Assim, a cônica representada é uma hipérbole.
Resposta
(a) Após completar o quadrado e simplificar, a equação da hiperbole na forma reduzida é
Identificamos que a cônica é uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Obtenha os pontos de
que distam
de
. Em seguida, verifique se a distância do ponto
á reta
é maior, menor ou igual a
e justifique sua resposta.
Dê um exemplo de duas matrizes
e
de mesmo tamanho tais que
Escreva a equação do plano que passa pelo ponto
e é paralelo aos dois vetores
e
.
Sejam
e
vetores não nulos e
. Sabendo que
determine os possíveis valores de
para que: