Dê um exemplo de duas matrizes A e B de mesmo tamanho tais que
(A+B)(barA-B) neq A^2-B^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar dois exemplos de matrizes e que têm o mesmo tamanho e que satisfaçam a condição . Aqui, pode ser interpretado como uma outra matriz relacionada a , mas para simplificar, vamos considerar apenas . O conteúdo que vamos precisar envolve operações com matrizes, como adição, multiplicação e a propriedade de comutatividade (ou seja, se ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas coisas importantes sobre matrizes. Diferente dos números, a multiplicação de matrizes não é, na maioria das vezes, comutativa. Isso significa que, geralmente, . Essa propriedade é essencial para resolver o exercício, porque ela pode fazer com que seja diferente de .

Passo 3

Vamos escolher duas matrizes simples de tamanho A = 0 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0 que não se comutam. Uma boa opção é:

Passo 4

Agora, vamos calcular A + B = 0 & 1 0 & 0 + 0 & 0 1 & 0 = 0 & 1 1 & 0 :

Passo 5

Em seguida, calculamos A - B = 0 & 1 0 & 0 - 0 & 0 1 & 0 = 0 & 1 -1 & 0 :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar (A + B)(A - B) = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 -1 & 0 por = (0 times 0) + (1 times -1) & (0 times 1) + (1 times 0) (1 times 0) + (0 times -1) & (1 times 1) + (0 times 0) = -1 & 0 0 & 1 :
Fazendo a multiplicação:

Passo 7

Vamos agora calcular A^2 = A times A = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 e B^2 = B times B = 0 & 0 1 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0 :

Passo 8

Agora, calculamos A^2 - B^2 = 0 & 0 0 & 0 - 0 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 :

Passo 9

Finalmente, comparamos os resultados:
(A + B)(A - B) = -1 & 0 0 & 1 neq 0 & 0 0 & 0 = A^2 - B^2

Resposta

As matrizes escolhidas satisfazem a condição:
(A + B)(A - B) neq A^2 - B^2
com
A = 0 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0

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