Sejam e . Obtenha os pontos de que distam de . Em seguida, verifique se a distância do ponto á reta é maior, menor ou igual a e justifique sua resposta.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e uma reta definida por . O objetivo é encontrar os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto . Depois disso, vamos verificar se a distância mínima do ponto à reta é maior, menor ou igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, cálculo de distâncias entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . A equação dada é , o que significa que qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
Agora, queremos que a distância entre e seja igual a . A fórmula da distância entre dois pontos e no espaço é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Vamos simplificar essa equação elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos expandir os termos:
Somando tudo:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes na reta substituindo os valores de na parametrização:
Para :
Para :
Então, os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto são e .

Passo 3

Agora, vamos verificar a distância mínima do ponto à reta e compará-la com . A fórmula para a distância de um ponto à reta é dada por:
Onde:
  • é o vetor que vai de a um ponto na reta .
  • é o vetor diretor da reta .
Primeiro, identificamos os vetores:
  • Escolhemos .
  • Vetor diretor .
  • Vetor .
Agora, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos a norma desse vetor:
E a norma do vetor diretor :
Então, a distância é:
Comparando com , vemos que:

Resposta

Os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto são e . Além disso, a distância mínima do ponto à reta é menor que .

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(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Escreva a equação do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos dois vetores e .