Sejam e . Obtenha os pontos de que distam de . Em seguida, verifique se a distância do ponto á reta é maior, menor ou igual a e justifique sua resposta.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e uma reta definida por . O objetivo é encontrar os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto . Depois disso, vamos verificar se a distância mínima do ponto à reta é maior, menor ou igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, cálculo de distâncias entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta . A equação dada é , o que significa que qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
Agora, queremos que a distância entre e seja igual a . A fórmula da distância entre dois pontos e no espaço é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Vamos simplificar essa equação elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos expandir os termos:
Somando tudo:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes na reta substituindo os valores de na parametrização:
Para :
Para :
Então, os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto são e .
Passo 3
Agora, vamos verificar a distância mínima do ponto à reta e compará-la com . A fórmula para a distância de um ponto à reta é dada por:
Onde:
é o vetor que vai de a um ponto na reta .
é o vetor diretor da reta .
Primeiro, identificamos os vetores:
Escolhemos .
Vetor diretor .
Vetor .
Agora, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos a norma desse vetor:
E a norma do vetor diretor :
Então, a distância é:
Comparando com , vemos que:
Resposta
Os pontos na reta que estão a uma distância de do ponto são e . Além disso, a distância mínima do ponto à reta é menor que .