Sejam A(0,2,1) e r: X=(1,1,4)+t(1,-1,2). Obtenha os pontos de r que distam raiz3 de A. Em seguida, verifique se a distância do ponto A á reta r é maior, menor ou igual a raiz3 e justifique sua resposta.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto A(0,2,1) e uma reta r definida por X = (1,1,4) + t(1,-1,2). O objetivo é encontrar os pontos na reta r que estão a uma distância de raiz3 do ponto A. Depois disso, vamos verificar se a distância mínima do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a raiz3. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, cálculo de distâncias entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta r. A equação dada é X = (1,1,4) + t(1,-1,2), o que significa que qualquer ponto P na reta pode ser escrito como:
P(t) = (1 + t, 1 - t, 4 + 2t)
Agora, queremos que a distância entre A(0,2,1) e P(t) seja igual a raiz3. A fórmula da distância entre dois pontos A(x1, y1, z1) e P(x2, y2, z2) no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Aplicando isso ao nosso caso:
raiz(1 + t - 0)^2 + (1 - t - 2)^2 + (4 + 2t - 1)^2 = raiz3
Vamos simplificar essa equação elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(1 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (3 + 2t)^2 = 3
Agora, vamos expandir os termos:
(1 + 2t + t^2) + (1 + 2t + t^2) + (9 + 12t + 4t^2) = 3
Somando tudo:
1 + 2t + t^2 + 1 + 2t + t^2 + 9 + 12t + 4t^2 = 3
(1 + 1 + 9) + (2t + 2t + 12t) + (t^2 + t^2 + 4t^2) = 3
11 + 16t + 6t^2 = 3
Subtraindo 3 de ambos os lados:
6t^2 + 16t + 8 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
3t^2 + 8t + 4 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 3, b = 8 e c = 4. Calculando o discriminante:
De
Então:
t = -8 pm raiz166 = -8 pm 46
Isso nos dá duas soluções:
t1 = -8 + 46 = -46 = -23
t2 = -8 - 46 = -126 = -2
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes na reta r substituindo os valores de t na parametrização:
Para t = -23:
P(-23) = (1 - 23, 1 - (-23), 4 + 2(-23)) = (13, 53, 83)
Para t = -2:
P(-2) = (1 - 2, 1 - (-2), 4 + 2(-2)) = (-1, 3, 0)
Então, os pontos na reta r que estão a uma distância de raiz3 do ponto A são (13, 53, 83) e (-1, 3, 0).

Passo 3

Agora, vamos verificar a distância mínima do ponto A à reta r e compará-la com raiz3. A fórmula para a distância d de um ponto A à reta r é dada por:
d = ||AP0 times v||||v||
Onde:
  • AP0 é o vetor que vai de A a um ponto P0 na reta r.
  • v é o vetor diretor da reta r.
Primeiro, identificamos os vetores:
  • Escolhemos P0 = (1,1,4).
  • Vetor diretor v = (1, -1, 2).
  • Vetor AP0 = P0 - A = (1 - 0, 1 - 2, 4 - 1) = (1, -1, 3).
Agora, calculamos o produto vetorial AP0 times v:
AP0 times v = i & j & k 1 & -1 & 3 1 & -1 & 2 = i((-1)(2) - (3)(-1)) - j((1)(2) - (3)(1)) + k((1)(-1) - (-1)(1))
= i(-2 + 3) - j(2 - 3) + k(-1 + 1)
= i(1) - j(-1) + k(0) = (1, 1, 0)
Agora, calculamos a norma desse vetor:
||AP0 times v|| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
E a norma do vetor diretor v:
||v|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Então, a distância d é:
d = raiz2raiz6 = raiz2raiz6 times raiz6raiz6 = raiz126 = 2raiz36 = raiz33 approx 0,577
Comparando com raiz3 approx 1,732, vemos que:
raiz33 < raiz3

Resposta

Os pontos na reta r que estão a uma distância de raiz3 do ponto A são (dfrac13, dfrac53, dfrac83) e (-1, 3, 0). Além disso, a distância mínima do ponto A à reta r é menor que raiz3.

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