Sejam
e
vetores não nulos e
. Sabendo que
determine os possíveis valores de
para que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores não nulos,
e
, e um número real não nulo
. A relação dada é
. Queremos descobrir quais valores de
fazem com que a norma de
seja maior que a norma de
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a norma de um vetor se relaciona com esse fator de multiplicação
.
Passo 2
Começamos calculando a norma de
. Sabemos que
, então:
A norma de um vetor multiplicado por um escalar
é igual ao valor absoluto de
vezes a norma do vetor original. Portanto:
Passo 3
Queremos que
. Substituindo a expressão que encontramos:
Como
é um valor positivo (pois
é um vetor não nulo), podemos dividir ambos os lados da desigualdade por
, mantendo a desigualdade:
Passo 4
A desigualdade
significa que o valor absoluto de
é maior que 1. Isso acontece quando
é maior que 1 ou menor que -1. Portanto, os possíveis valores de
são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição
são todos os números reais maiores que 1 ou menores que -1. Ou seja,