Escreva a equação do plano que passa pelo ponto P(3,4,-5) e é paralelo aos dois vetores v=(3,1,-1) e w=(1,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo aos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Um vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Como o plano é paralelo aos vetores e , o vetor normal vai ser perpendicular a ambos. Para encontrar esse vetor normal, usamos o produto vetorial entre e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w = i & j & k 3 & 1 & -1 1 & -2 & 1 :
v times w = i(1 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) - j(3 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(3 cdot (-2) - 1 cdot 1)
Calculando o determinante:
= i(1 - 2) - j(3 + 1) + k(-6 -1)
= -i -4j -7k
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar para multiplicando por -1, já que a direção é o que importa.

Passo 4

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto dado.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
1(x - 3) + 4(y - 4) + 7(z + 5) = 0
Vamos expandir:
x - 3 + 4y - 16 + 7z + 35 = 0
x + 4y + 7z + 16 = 0

Resposta

A equação do plano é:
x + 4y + 7z + 16 = 0

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