Escreva a equação do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos dois vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo aos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Um vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Como o plano é paralelo aos vetores e , o vetor normal vai ser perpendicular a ambos. Para encontrar esse vetor normal, usamos o produto vetorial entre e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar para multiplicando por -1, já que a direção é o que importa.

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto dado.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Vamos expandir:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Sejam e . Obtenha os pontos de que distam de . Em seguida, verifique se a distância do ponto á reta é maior, menor ou igual a e justifique sua resposta.
Sejam e vetores não nulos e . Sabendo que
determine os possíveis valores de para que:
Sejam e vetores não nulos e . Sabendo que
determine os possíveis valores de para que: