Resolva o sistema
3 x+3 z & =0 x+y+z & =2 x+y & =3
usando a regra de Cramer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a regra de Cramer. O sistema que temos é:
3x + 3z &= 0 x + y + z &= 2 x + y &= 3
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes, que são fundamentais na regra de Cramer para encontrar as soluções das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 3 & 0 & 3 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , X = x y z , B = 0 2 3 , onde:
Aqui, é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas, e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) , que é necessário para aplicar a regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = 3(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 3(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 3(0 - 1) - 0(0 - 1) + 3(1 - 1) = -3 + 0 + 0 = -3
Aplicando aos nossos valores:

Passo 4

Com o determinante de Ax = 0 & 0 & 3 2 & 1 & 1 3 & 1 & 0 conhecido, vamos calcular os determinantes das matrizes substituídas por cada variável. Primeiro, para encontrar det(Ax) = 0(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0(2 cdot 0 - 3 cdot 1) + 3(2 cdot 1 - 3 cdot 1) = 0(-1) - 0(-3) + 3(-1) = 0 + 0 - 3 = -3 , substituímos a coluna de por :
Calculando :

Passo 5

Agora, para encontrar Ay = 3 & 0 & 3 1 & 2 & 1 1 & 3 & 0 , substituímos a coluna de det(Ay) = 3(2 cdot 0 - 1 cdot 3) - 0(1 cdot 0 - 1 cdot 3) + 3(1 cdot 3 - 2 cdot 1) = 3(0 - 3) - 0(0 - 3) + 3(3 - 2) = -9 + 0 + 3 = -6 por :
Calculando :

Passo 6

Por último, para encontrar Az = 3 & 0 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 3 , substituímos a coluna de det(Az) = 3(1 cdot 3 - 2 cdot 1) - 0(1 cdot 3 - 2 cdot 1) + 0(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 3(3 - 2) - 0(3 - 2) + 0(1 - 1) = 3(1) - 0 + 0 = 3 por :
Calculando :

Resposta

Agora, aplicando a regra de Cramer, encontramos as soluções:
x = det(Ax)det(A) = -3-3 = 1
y = det(Ay)det(A) = -6-3 = 2
z = det(Az)det(A) = 3-3 = -1
Então, a solução do sistema é , e .

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