Sejam T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y)=(y, x) e S(x, y)=(0, x)
Determine:
(b) (2 T-3 S)(x, y).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar . Estamos lidando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades matemáticas. Para resolver isso, vamos usar as definições das transformações e e combinar elas conforme a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma transformação por um número. Quando temos , isso significa que vamos multiplicar cada componente da transformação por 2. A mesma coisa vale para , onde cada componente será multiplicado por 3.

Passo 3

Vamos calcular 2T(x, y) = 2 cdot (y, x) = (2y, 2x) . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular 3S(x, y) = 3 cdot (0, x) = (0, 3x) . Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos combinar (2T - 3S)(x, y) = 2T(x, y) - 3S(x, y) = (2y, 2x) - (0, 3x) e conforme a expressão :

Passo 6

Para subtrair os dois vetores, subtraímos componente a componente:
(2y - 0, 2x - 3x) = (2y, -x)

Resposta

Portanto, .

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