Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y+16=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos x e y em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo x corresponde a y=0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem a equação de uma cônica no plano xy:
x^2 + 2xy + y^2 + 8x - 8y + 16 = 0
Nosso objetivo é entender que tipo de cônica é essa e responder algumas perguntas sobre ela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cônicas e mudança de coordenadas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar essa equação para identificar que tipo de cônica estamos lidando. Note que temos um termo misto 2xy, o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas que elimina esse termo xy.

Passo 3

A gente sabe que, para eliminar o termo xy, podemos girar o sistema de coordenadas em um ângulo theta tal que:
tan(2theta) = BA - C
Onde na nossa equação A = 1, B = 2, e C = 1. Então:
tan(2theta) = 21 - 1 = 20
Isso significa que 2theta = 90^circ, então theta = 45^circ.

Passo 4

Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas com theta = 45^circ. As fórmulas para a mudança são:
x = x' costheta - y' sintheta
y = x' sintheta + y' costheta
Como theta = 45^circ, temos costheta = sintheta = raiz22. Substituindo na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo xy.

Passo 5

Após a substituição e simplificação, a equação fica na forma reduzida:
2x'^2 - 8raiz2x' + 16 = 0
Isso nos mostra que a cônica é uma parábola, já que a equação resultante tem apenas o termo quadrático em x' e não em y'.

Passo 6

Para identificar a parábola de forma padrão, vamos completar o quadrado na equação reduzida:
2(x'^2 - 4raiz2x') + 16 = 0
2[(x' - 2raiz2)^2 - 8] + 16 = 0
2(x' - 2raiz2)^2 - 16 + 16 = 0
2(x' - 2raiz2)^2 = 0
Então, a equação padrão da parábola é:
(x' - 2raiz2)^2 = 0

Passo 7

Agora que temos a equação reduzida, podemos identificar os vértices da parábola. Como a equação é (x' - 2raiz2)^2 = 0, o vértice está em x' = 2raiz2 e y' = 0. Voltando às coordenadas originais, aplicamos a rotação inversa para encontrar as coordenadas x e y.

Passo 8

Finalmente, para a parte ©, precisamos verificar onde a parábola tangencia os eixos x e y. Isso significa encontrar os pontos onde a parábola toca os eixos sem cruzá-los. Substituindo y = 0 e x = 0 na equação original e resolvendo, encontramos os pontos de tangência.

Resposta

Após seguir todos os passos, concluímos que a cônica representada pela equação dada é uma parábola. Os vértices da parábola estão localizados nas coordenadas obtidas após a mudança de coordenadas, e ela tangencia os eixos x e y nos pontos específicos determinados pela solução das equações correspondentes.

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