Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos
e
em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo
corresponde a
).
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem a equação de uma cônica no plano
:
Nosso objetivo é entender que tipo de cônica é essa e responder algumas perguntas sobre ela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cônicas e mudança de coordenadas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar essa equação para identificar que tipo de cônica estamos lidando. Note que temos um termo misto
, o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas que elimina esse termo
.
Passo 3
A gente sabe que, para eliminar o termo
, podemos girar o sistema de coordenadas em um ângulo
tal que:
Onde na nossa equação
,
, e
. Então:
Isso significa que
, então
.
Passo 4
Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas com
. As fórmulas para a mudança são:
Como
, temos
. Substituindo na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo
.
Passo 5
Após a substituição e simplificação, a equação fica na forma reduzida:
Isso nos mostra que a cônica é uma parábola, já que a equação resultante tem apenas o termo quadrático em
e não em
.
Passo 6
Para identificar a parábola de forma padrão, vamos completar o quadrado na equação reduzida:
Então, a equação padrão da parábola é:
Passo 7
Agora que temos a equação reduzida, podemos identificar os vértices da parábola. Como a equação é
, o vértice está em
e
. Voltando às coordenadas originais, aplicamos a rotação inversa para encontrar as coordenadas
e
.
Passo 8
Finalmente, para a parte ©, precisamos verificar onde a parábola tangencia os eixos
e
. Isso significa encontrar os pontos onde a parábola toca os eixos sem cruzá-los. Substituindo
e
na equação original e resolvendo, encontramos os pontos de tangência.
Resposta
Após seguir todos os passos, concluímos que a cônica representada pela equação dada é uma parábola. Os vértices da parábola estão localizados nas coordenadas obtidas após a mudança de coordenadas, e ela tangencia os eixos
e
nos pontos específicos determinados pela solução das equações correspondentes.
Exercícios relacionados
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(b) O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
(b) O conjunto
Considerando o espaço euclidiano
, calcular
nos seguintes casos:
b) .
Solução
b) .
b)
Solução
b)
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(e) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
(e)
Considere a matriz
.
b) Encontre os autovetores de .
b) Encontre os autovetores de