Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos e em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo corresponde a ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem a equação de uma cônica no plano :
Nosso objetivo é entender que tipo de cônica é essa e responder algumas perguntas sobre ela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cônicas e mudança de coordenadas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar essa equação para identificar que tipo de cônica estamos lidando. Note que temos um termo misto , o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas que elimina esse termo .

Passo 3

A gente sabe que, para eliminar o termo , podemos girar o sistema de coordenadas em um ângulo tal que:
Onde na nossa equação , , e . Então:
Isso significa que , então .

Passo 4

Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas com . As fórmulas para a mudança são:
Como , temos . Substituindo na equação original e simplificando, vamos eliminar o termo .

Passo 5

Após a substituição e simplificação, a equação fica na forma reduzida:
Isso nos mostra que a cônica é uma parábola, já que a equação resultante tem apenas o termo quadrático em e não em .

Passo 6

Para identificar a parábola de forma padrão, vamos completar o quadrado na equação reduzida:
Então, a equação padrão da parábola é:

Passo 7

Agora que temos a equação reduzida, podemos identificar os vértices da parábola. Como a equação é , o vértice está em e . Voltando às coordenadas originais, aplicamos a rotação inversa para encontrar as coordenadas e .

Passo 8

Finalmente, para a parte ©, precisamos verificar onde a parábola tangencia os eixos e . Isso significa encontrar os pontos onde a parábola toca os eixos sem cruzá-los. Substituindo e na equação original e resolvendo, encontramos os pontos de tangência.

Resposta

Após seguir todos os passos, concluímos que a cônica representada pela equação dada é uma parábola. Os vértices da parábola estão localizados nas coordenadas obtidas após a mudança de coordenadas, e ela tangencia os eixos e nos pontos específicos determinados pela solução das equações correspondentes.

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