Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(b) O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto , que consiste em todas as matrizes 2x2 com entradas reais, forma um espaço vetorial quando usamos as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais propriedades ele deve ter.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) onde podemos fazer duas operações: adicionar duas matrizes e multiplicar uma matriz por um número real (escalar). Para que seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer oito propriedades básicas, como existência de um elemento zero, existência de inversos, associatividade, comutatividade da soma, etc.

Passo 3

Vamos checar rapidamente se essas propriedades são satisfeitas:
  1. Elemento Zero: A matriz 2x2 com todos os elementos igual a zero está em .
  2. Inverso Adicional: Para qualquer matriz em , existe outra matriz que, quando somadas, dá a matriz zero.
  3. Associatividade e Comutatividade da Soma: A soma de matrizes é associativa e comutativa.
  4. Multiplicação por Escalar: Multiplicar uma matriz por um número real resulta em outra matriz 2x2 com entradas reais.
  5. Distributividade: A distribuição do escalar sobre a soma de matrizes e a soma de escalares sobre a multiplicação por uma matriz funcionam direitinho.

Passo 4

Como todas essas propriedades são satisfeitas pelas matrizes 2x2 com entradas reais, isso significa que realmente cumpre todos os requisitos para ser um espaço vetorial. Além disso, as operações são bem definidas e seguem as regras de um espaço vetorial clássico.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto , com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Considerando o espaço euclidiano , calcular nos seguintes casos:
b) .
Solução
b) .
*Seja , encontre as matrizes e , se existirem.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos e em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo corresponde a ).
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(e) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.