Considere a matriz A=(ll1 & 2 3 & 2).
b) Encontre os autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada 1 & 2 3 & 2 e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz. Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo dele mesmo. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores escalares que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 2 3 & 2 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (3 times 2) = (1 - lambda)(2 - lambda) - 6
Expandindo:
(1 - lambda)(2 - lambda) = 2 - 3lambda + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 3lambda + 2 - 6 = lambda^2 - 3lambda - 4

Passo 5

Resolvemos a equação característica lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52 para encontrar os autovalores:
lambda1 = 4 e lambda2 = -1
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor encontrado.
Para A - 4I = 1 - 4 & 2 3 & 2 - 4 = -3 & 2 3 & -2 :
Substituímos -3v1 + 2v2 = 0 3v1 - 2v2 = 0 na matriz -3v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 23v2 :
v1 = 2
Isso gera o sistema de equações:
2 3
Observamos que as duas equações são equivalentes, então podemos resolver uma delas:
A + I = 1 + 1 & 2 3 & 2 + 1 = 2 & 2 3 & 3
Podemos escolher 2v1 + 2v2 = 0 3v1 + 3v2 = 0 para simplificar, então:
2v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2
Portanto, um autovetor associado a v1 = -1 é -1 1 .
Para :
Substituímos na matriz :
Isso gera o sistema de equações:
Novamente, as equações são equivalentes. Resolvendo:
Podemos escolher , então:
Portanto, um autovetor associado a é .

Resposta

Os autovetores da matriz 2 3 e -1 1 são:

Exercícios relacionados