Considere a matriz
.
b) Encontre os autovetores de
.
b) Encontre os autovetores de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada
e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz. Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo dele mesmo. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores escalares
que satisfazem a equação característica:
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:
Passo 5
Resolvemos a equação característica
para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor encontrado.
Para
:
Substituímos
na matriz
:
Isso gera o sistema de equações:
Observamos que as duas equações são equivalentes, então podemos resolver uma delas:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a
é
.
Para
:
Substituímos
na matriz
:
Isso gera o sistema de equações:
Novamente, as equações são equivalentes. Resolvendo:
Podemos escolher
, então:
Portanto, um autovetor associado a
é
.
Resposta
Os autovetores da matriz
são: