Considere a matriz .
b) Encontre os autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz. Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo dele mesmo. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores escalares que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:
Passo 5
Resolvemos a equação característica para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor encontrado.
Para :
Substituímos na matriz :
Isso gera o sistema de equações:
Observamos que as duas equações são equivalentes, então podemos resolver uma delas:
Podemos escolher para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a é .
Para :
Substituímos na matriz :
Isso gera o sistema de equações:
Novamente, as equações são equivalentes. Resolvendo: