Considere a matriz .
b) Encontre os autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz. Autovetores são vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo dele mesmo. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores escalares que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:

Passo 5

Resolvemos a equação característica para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor encontrado.
Para :
Substituímos na matriz :
Isso gera o sistema de equações:
Observamos que as duas equações são equivalentes, então podemos resolver uma delas:
Podemos escolher para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a é .
Para :
Substituímos na matriz :
Isso gera o sistema de equações:
Novamente, as equações são equivalentes. Resolvendo:
Podemos escolher , então:
Portanto, um autovetor associado a é .

Resposta

Os autovetores da matriz são:

Exercícios relacionados

Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(e) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos e em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo corresponde a ).
Usando o produto interno em , determinar o produto escalar de:
a) e .
Solução
a) .
Seja um espaço vetorial sobre . Ponhamos por definição . Verificar se ( é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) ;
(b) e ©: exercício.
(d) , então obviamente vale esta condição; se existe em V , então temos com , o que mostra que , não define um produto interno sobre .