Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(e) R^+=x in R ; x>0, com as operações usuais, é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: “ℝ⁺ = {x ∈ ℝ ; x > 0}, com as operações usuais, é um espaço vetorial.” Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se ℝ⁺ satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais ℝ) é um conjunto de vetores que pode ser adicionado e multiplicado por escalares, seguindo certas regras chamadas axiomas. Essas regras garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de maneira previsível.

Passo 3

As operações usuais em ℝ⁺ são a adição e a multiplicação por escalar (número real). Para ℝ⁺ ser um espaço vetorial, ele precisa satisfazer todos os axiomas dos espaços vetoriais, como fechamento sob adição e multiplicação, existência de elemento neutro, existência de inversos, etc.

Passo 4

Vamos verificar se ℝ⁺ satisfaz os axiomas:
  1. Fechamento sob adição: Se você adicionar dois números positivos, o resultado é positivo. Isso está ok.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Aqui é onde pode dar problema. Se multiplicarmos um número positivo por um escalar negativo, o resultado será negativo, que não pertence a ℝ⁺.
  3. Existência do elemento neutro: O vetor zero deve estar no conjunto. Mas em ℝ⁺, não há zero, já que x > 0.
  4. Existência de inversos: Para cada elemento, deve existir um inverso aditivo. Mas se tentarmos inverter um número positivo, obteremos um número negativo, que não está em ℝ⁺.

Passo 5

Além disso, há outros axiomas que também não são satisfeitos devido à ausência do zero e da possibilidade de multiplicação por escalares negativos. Portanto, ℝ⁺ não cumpre todas as condições necessárias para ser um espaço vetorial.

Resposta

Falsa. O conjunto ℝ⁺ com as operações usuais não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, como a existência do elemento neutro e o fechamento sob multiplicação por escalar, portanto não é um espaço vetorial.

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