Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica no plano xy:
O objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices e focos dessa cônica no sistema de coordenadas xy. Para isso, vamos precisar identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole ou parábola) e transformar a equação geral em uma forma padrão que facilite a identificação dos vértices e focos. Vamos usar o método de completar o quadrado para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e de y separadamente:
Isso ajuda a visualizar melhor como completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x:
Fatorando o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 25:
Simplificando:
Passo 4
Vamos repetir o processo para os termos de y:
Fatorando o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 16:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos constantes:
Primeiro, convertendo 100 para quarto (denominador 4):
Então:
Somando os termos constantes do lado esquerdo:
Então temos:
Adicionando aos dois lados:
Passo 6
Vamos dividir toda a equação por 400 para simplificar:
Simplificando as frações:
Essa é a forma padrão de uma elipse, que é:
Onde é o centro da elipse, é o raio maior e é o raio menor.
Passo 7
Comparando as duas equações, identificamos:
Centro
então
então
Como , isso significa que o eixo maior da elipse está no eixo y.
Passo 8
Para encontrar os vértices, como o eixo maior está no y, adicionamos e subtraímos do centro:
Vértice superior:
Vértice inferior:
Passo 9
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estarão a uma distância acima e abaixo do centro ao longo do eixo maior (y):
Foco superior:
Foco inferior:
Passo 10
Como essa é uma elipse, ela não tem assíntotas, que são características de hipérboles. Além disso, o eixo conjugado está ao longo do eixo x.
Os pontos para o eixo conjugado são encontrados adicionando e subtraindo do centro:
Ponto à direita:
Ponto à esquerda:
Resposta
Os vértices da elipse são e . Os focos são e . Não existem assíntotas para esta elipse. Os pontos do eixo conjugado são e .