Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
25 x^2+75 x-9754+16 y^2-80 y=0
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas x y ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas x y, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica no plano xy:
25x^2 + 75x - 9754 + 16y^2 - 80y = 0
O objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices e focos dessa cônica no sistema de coordenadas xy. Para isso, vamos precisar identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole ou parábola) e transformar a equação geral em uma forma padrão que facilite a identificação dos vértices e focos. Vamos usar o método de completar o quadrado para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e de y separadamente:
25x^2 + 75x + 16y^2 - 80y = 9754
Isso ajuda a visualizar melhor como completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x:
Fatorando o coeficiente de 25(x^2 + 3x) + 16y^2 - 80y = 9754 :
x^2 + 3x = (x + 32)^2 - (32)^2 = (x + 32)^2 - 94
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
25(x + 32)^2 - 25 cdot 94 + 16y^2 - 80y = 9754
Multiplicando pelo 25:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16y^2 - 80y = 9754
Simplificando:

Passo 4

Vamos repetir o processo para os termos de y:
Fatorando o coeficiente de 25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y^2 - 5y) = 9754 :
y^2 - 5y = (y - 52)^2 - (52)^2 = (y - 52)^2 - 254
Completando o quadrado dentro do parêntese:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y - 52)^2 - 16 cdot 254 = 9754
Multiplicando pelo 16:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y - 52)^2 - 100 = 9754
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos constantes:
Primeiro, convertendo 100 para quarto (denominador 4):
100 = 4004
Então:
25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y - 52)^2 - 4004 = 9754
Somando os termos constantes do lado esquerdo:
-2254 - 4004 = -6254
Então temos:
25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 - 6254 = 9754
Adicionando 25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 = 9754 + 6254 = 16004 = 400 aos dois lados:

Passo 6

Vamos dividir toda a equação por 400 para simplificar:
25(x + 32)^2400 + 16(y - 52)^2400 = 1
Simplificando as frações:
(x + 32)^216 + (y - 52)^225 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse, que é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o raio maior e é o raio menor.

Passo 7

Comparando as duas equações, identificamos:
  • Centro
  • então
  • então
Como , isso significa que o eixo maior da elipse está no eixo y.

Passo 8

Para encontrar os vértices, como o eixo maior está no y, adicionamos e subtraímos do centro:
  • Vértice superior:
  • Vértice inferior:

Passo 9

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2 = raiz25 - 16 = raiz9 = 3
Então, os focos estarão a uma distância acima e abaixo do centro ao longo do eixo maior (y):
  • Foco superior:
  • Foco inferior:

Passo 10

Como essa é uma elipse, ela não tem assíntotas, que são características de hipérboles. Além disso, o eixo conjugado está ao longo do eixo x.
Os pontos para o eixo conjugado são encontrados adicionando e subtraindo do centro:
  • Ponto à direita:
  • Ponto à esquerda:

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos são e . Não existem assíntotas para esta elipse. Os pontos do eixo conjugado são e .

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