Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica no plano xy:
O objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices e focos dessa cônica no sistema de coordenadas xy. Para isso, vamos precisar identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole ou parábola) e transformar a equação geral em uma forma padrão que facilite a identificação dos vértices e focos. Vamos usar o método de completar o quadrado para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e de y separadamente:
Isso ajuda a visualizar melhor como completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x:
Fatorando o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 25:
Simplificando:
Passo 4
Vamos repetir o processo para os termos de y:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Multiplicando pelo 16:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos constantes:
Primeiro, convertendo 100 para quarto (denominador 4):
Então:
Somando os termos constantes do lado esquerdo:
Então temos:
Adicionando
aos dois lados:
Passo 6
Vamos dividir toda a equação por 400 para simplificar:
Simplificando as frações:
Essa é a forma padrão de uma elipse, que é:
Onde
é o centro da elipse,
é o raio maior e
é o raio menor.
Passo 7
Comparando as duas equações, identificamos:
- Centro
-
então -
então
Como
, isso significa que o eixo maior da elipse está no eixo y.
Passo 8
Para encontrar os vértices, como o eixo maior está no y, adicionamos e subtraímos
do centro:
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 9
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estarão a uma distância
acima e abaixo do centro ao longo do eixo maior (y):
- Foco superior:
- Foco inferior:
Passo 10
Como essa é uma elipse, ela não tem assíntotas, que são características de hipérboles. Além disso, o eixo conjugado está ao longo do eixo x.
Os pontos para o eixo conjugado são encontrados adicionando e subtraindo
do centro:
- Ponto à direita:
- Ponto à esquerda:
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos são
e
. Não existem assíntotas para esta elipse. Os pontos do eixo conjugado são
e
.