Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação de uma cônica no plano :
O objetivo aqui é fazer uma mudança de coordenadas que simplifique essa equação para uma forma mais fácil de identificar que tipo de cônica é essa (como uma parábola, elipse, etc.). Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os de e os de :
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável separadamente.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Pegamos os coeficientes:
Para :
Fatoramos o 9:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Tomamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos de :
Para :
Fatoramos o 25:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Tomamos o coeficiente de , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos as expressões completas na equação original:
Distribuímos os coeficientes:
Passo 6
Agora, somamos os termos constantes:
Adicionamos 136 a ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 7
Dividimos a equação inteira por 225 para obter a forma reduzida:
Essa é a forma padrão de uma elipse, onde os denominadores representam os quadrados dos semi-eixos.
Resposta
A mudança de coordenadas e coloca a equação na forma reduzida: