Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
9 x^2-36 x-89+25 y^2+100 y=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação de uma cônica no plano xy:
9x^2 - 36x -89 +25y^2 +100y=0
O objetivo aqui é fazer uma mudança de coordenadas que simplifique essa equação para uma forma mais fácil de identificar que tipo de cônica é essa (como uma parábola, elipse, etc.). Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os de x e os de y:
9x^2 - 36x +25y^2 +100y = 89
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável separadamente.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x. Pegamos os coeficientes:
  • Para x: 9x^2 - 36x
    • Fatoramos o 9: 9(x^2 - 4x)
    • Para completar o quadrado dentro do parêntese:
      • Tomamos o coeficiente de x, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (-4/2)^2 = 4
      • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
        9(x^2 - 4x + 4 - 4) = 9((x - 2)^2 - 4)

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de y:
  • Para y: 25y^2 + 100y
    • Fatoramos o 25: 25(y^2 + 4y)
    • Para completar o quadrado dentro do parêntese:
      • Tomamos o coeficiente de y, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (4/2)^2 = 4
      • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
        25(y^2 + 4y + 4 - 4) = 25((y + 2)^2 - 4)

Passo 5

Substituímos as expressões completas na equação original:
9((x - 2)^2 - 4) +25((y + 2)^2 - 4) = 89
Distribuímos os coeficientes:
9(x - 2)^2 - 36 +25(y + 2)^2 - 100 = 89

Passo 6

Agora, somamos os termos constantes:
9(x - 2)^2 +25(y + 2)^2 - 136 = 89
Adicionamos 136 a ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
9(x - 2)^2 +25(y + 2)^2 = 225

Passo 7

Dividimos a equação inteira por 225 para obter a forma reduzida:
(x - 2)^225 + (y + 2)^29 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse, onde os denominadores representam os quadrados dos semi-eixos.

Resposta

A mudança de coordenadas x' = x - 2 e y' = y + 2 coloca a equação na forma reduzida:
x'^225 + y'^29 = 1
Portanto, a cônica representada é uma elipse.

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