Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação de uma cônica no plano :
O objetivo aqui é fazer uma mudança de coordenadas que simplifique essa equação para uma forma mais fácil de identificar que tipo de cônica é essa (como uma parábola, elipse, etc.). Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os de e os de :
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável separadamente.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Pegamos os coeficientes:
  • Para :
    • Fatoramos o 9:
    • Para completar o quadrado dentro do parêntese:
      • Tomamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
      • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de :
  • Para :
    • Fatoramos o 25:
    • Para completar o quadrado dentro do parêntese:
      • Tomamos o coeficiente de , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
      • Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:

Passo 5

Substituímos as expressões completas na equação original:
Distribuímos os coeficientes:

Passo 6

Agora, somamos os termos constantes:
Adicionamos 136 a ambos os lados para isolar os termos quadráticos:

Passo 7

Dividimos a equação inteira por 225 para obter a forma reduzida:
Essa é a forma padrão de uma elipse, onde os denominadores representam os quadrados dos semi-eixos.

Resposta

A mudança de coordenadas e coloca a equação na forma reduzida:
Portanto, a cônica representada é uma elipse.

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Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Calcule o determinante das matrizes e .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.