tem infinitas soluções se a=4, e solução única se a neq 4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro a. Precisamos mostrar que esse sistema tem infinitas soluções quando a = 4 e uma única solução quando a neq 4. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e analisar as condições sobre a.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações:
rl x + y + z & = 1 (Equação 1) 2x - y + 3z & = -2 (Equação 2) 3x + a z & = 3 - a (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é resolver esse sistema para x, y, e z em termos de a.
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Por exemplo, podemos eliminar y. Da Equação 1, temos:
y = 1 - x - z
Agora, substituímos y na Equação 2:
2x - (1 - x - z) + 3z = -2 2x - 1 + x + z + 3z = -2 3x + 4z = -1 (Equação 4) çã
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a Equação 3:
3x + a z = 3 - a
Temos agora duas equações com duas incógnitas (x e z):
rl 3x + 4z & = -1 (Equação 4) 3x + a z & = 3 - a (Equação 3) çãçã
Podemos eliminar x subtraindo a Equação 4 da Equação 3:
(3x + a z) - (3x + 4z) = (3 - a) - (-1) (a z - 4z) = 4 - a z(a - 4) = 4 - a
Passo 5
Agora, vamos resolver para z:
z = 4 - aa - 4
Simplificando o numerador e o denominador:
z = -(a - 4)a - 4 = -1 (desde que a neq 4)
Isso nos dá z = -1 quando a neq 4.
Passo 6
Com z = -1, substituímos de volta na Equação 4 para encontrar x:
3x + 4(-1) = -1 3x - 4 = -1 3x = 3 x = 1
Agora temos x = 1 e z = -1 quando a neq 4.
Passo 7
Finalmente, substituímos x = 1 e z = -1 na expressão para y que encontramos no Passo 3:
y = 1 - x - z y = 1 - 1 - (-1) y = 1 - 1 + 1 y = 1
Então, quando a neq 4, temos a solução única:
x = 1, y = 1, z = -1
Passo 8
Agora, vamos analisar o caso especial quando a = 4. Substituindo a = 4 na Equação 3:
3x + 4z = 3 - 4 3x + 4z = -1 (que é a mesma Equação 4) éçã
Isso significa que as Equações 3 e 4 se tornam a mesma equação, reduzindo o sistema para:
rl x + y + z & = 1 3x + 4z & = -1
Agora temos duas equações com três incógnitas, o que geralmente resulta em infinitas soluções, pois podemos escolher um valor livre para uma das variáveis.
Passo 9
Por exemplo, podemos deixar z = t (onde t é um número real qualquer). Então, da Equação 4:
3x + 4t = -1 3x = -1 - 4t x = -1 - 4t3
E substituindo x e z na Equação 1 para encontrar y:
-1 - 4t3 + y + t = 1 y = 1 - -1 - 4t3 - t y = 1 + 1 + 4t3 - t y = 33 + 1 + 4t3 - 3t3 y = 4 + t3
Então, para a = 4, as soluções são:
x = -1 - 4t3, y = 4 + t3, z = t onde t in R
Resposta
Portanto, o sistema tem infinitas soluções quando a = 4, e possui uma única solução (x, y, z) = (1,,1,,-1) quando a neq 4.