Mostre que o sistema
tem infinitas soluções se , e solução única se .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ) e um parâmetro . Precisamos mostrar que esse sistema tem infinitas soluções quando e uma única solução quando . Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e analisar as condições sobre .

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações:
çãçãçã
Nosso objetivo é resolver esse sistema para , , e em termos de .

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Por exemplo, podemos eliminar . Da Equação 1, temos:
Agora, substituímos na Equação 2:
çã

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a Equação 3:
Temos agora duas equações com duas incógnitas ( e ):
çãçã
Podemos eliminar subtraindo a Equação 4 da Equação 3:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Simplificando o numerador e o denominador:
Isso nos dá quando .

Passo 6

Com , substituímos de volta na Equação 4 para encontrar :
Agora temos e quando .

Passo 7

Finalmente, substituímos e na expressão para que encontramos no Passo 3:
Então, quando , temos a solução única:

Passo 8

Agora, vamos analisar o caso especial quando . Substituindo na Equação 3:
éçã
Isso significa que as Equações 3 e 4 se tornam a mesma equação, reduzindo o sistema para:
Agora temos duas equações com três incógnitas, o que geralmente resulta em infinitas soluções, pois podemos escolher um valor livre para uma das variáveis.

Passo 9

Por exemplo, podemos deixar (onde é um número real qualquer). Então, da Equação 4:
E substituindo e na Equação 1 para encontrar :
Então, para , as soluções são:

Resposta

Portanto, o sistema tem infinitas soluções quando , e possui uma única solução quando .

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