Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
© Escreva a equação da cônica
nas coordenadas
. Identifique esta cônica.
© Escreva a equação da cônica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transladar o sistema de coordenadas para o ponto
e reescrever a equação da cônica dada
nas novas coordenadas
. Depois disso, vamos identificar que tipo de cônica é essa. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de translação de coordenadas e entender um pouco sobre as equações das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transladar o sistema de coordenadas para
. Isso quer dizer que a nova origem
está localizada no ponto
do sistema original
. Assim, podemos relacionar as coordenadas antigas
com as novas
usando as seguintes equações de translação:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação da cônica original. A equação é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos expandir cada termo:
- Expande
:
- Expande
:
- Expande
:
- Expande
:
Agora, substituímos de volta na equação:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação combinando os termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Então, a equação simplificada fica:
Passo 6
Vamos reescrever essa equação de forma mais familiar, isolando os termos quadráticos:
Para facilitar a identificação da cônica, podemos dividir toda a equação por 6:
Passo 7
Agora, vamos identificar que tipo de cônica é essa. A equação geral da segunda grau para hipérbole centrada na origem é:
Comparando com a nossa equação
, vemos que ela está na forma padrão de uma hipérbole. Portanto, a cônica definida pela equação original, após a translação, é uma hipérbole.
Resposta
Após a translação, a equação da cônica nas coordenadas
é
, e essa cônica é uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas
).
(a) Escreva a equação da reta
Considere
, o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios
e
como:
Verifique se
é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas