Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto O^prime=(-1,2).
© Escreva a equação da cônica -3 y^2+2 x^2+12 y+4 x-16=0 nas coordenadas (u, v). Identifique esta cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transladar o sistema de coordenadas para o ponto e reescrever a equação da cônica dada nas novas coordenadas . Depois disso, vamos identificar que tipo de cônica é essa. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de translação de coordenadas e entender um pouco sobre as equações das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa transladar o sistema de coordenadas para x = u - 1 . Isso quer dizer que a nova origem y = v + 2 está localizada no ponto do sistema original . Assim, podemos relacionar as coordenadas antigas com as novas usando as seguintes equações de translação:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação da cônica original. A equação é:
-3y^2 + 2x^2 + 12y + 4x - 16 = 0
Substituindo -3(v + 2)^2 + 2(u - 1)^2 + 12(v + 2) + 4(u - 1) - 16 = 0 e :

Passo 4

Vamos expandir cada termo:
  1. Expande -3(v^2 + 4v + 4) = -3v^2 - 12v - 12 :
2(u^2 - 2u + 1) = 2u^2 - 4u + 2
  1. Expande 12v + 24 :
4u - 4
  1. Expande -3v^2 - 12v - 12 + 2u^2 - 4u + 2 + 12v + 24 + 4u - 4 - 16 = 0 :
  1. Expande :
Agora, substituímos de volta na equação:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação combinando os termos semelhantes:
  • Termos de 2u^2 - 3v^2 - 6 = 0 :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:
Então, a equação simplificada fica:

Passo 6

Vamos reescrever essa equação de forma mais familiar, isolando os termos quadráticos:
2u^2 - 3v^2 = 6
Para facilitar a identificação da cônica, podemos dividir toda a equação por 6:
2u^26 - 3v^26 = 1 Rightarrow u^23 - v^22 = 1

Passo 7

Agora, vamos identificar que tipo de cônica é essa. A equação geral da segunda grau para hipérbole centrada na origem é:
u^2a^2 - v^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação , vemos que ela está na forma padrão de uma hipérbole. Portanto, a cônica definida pela equação original, após a translação, é uma hipérbole.

Resposta

Após a translação, a equação da cônica nas coordenadas é , e essa cônica é uma hipérbole.

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