Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transladar o sistema de coordenadas para o ponto e reescrever a equação da cônica dada nas novas coordenadas . Depois disso, vamos identificar que tipo de cônica é essa. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de translação de coordenadas e entender um pouco sobre as equações das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa transladar o sistema de coordenadas para . Isso quer dizer que a nova origem está localizada no ponto do sistema original . Assim, podemos relacionar as coordenadas antigas com as novas usando as seguintes equações de translação:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação da cônica original. A equação é:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos expandir cada termo:
  1. Expande :
  1. Expande :
  1. Expande :
  1. Expande :
Agora, substituímos de volta na equação:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação combinando os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:
Então, a equação simplificada fica:

Passo 6

Vamos reescrever essa equação de forma mais familiar, isolando os termos quadráticos:
Para facilitar a identificação da cônica, podemos dividir toda a equação por 6:

Passo 7

Agora, vamos identificar que tipo de cônica é essa. A equação geral da segunda grau para hipérbole centrada na origem é:
Comparando com a nossa equação , vemos que ela está na forma padrão de uma hipérbole. Portanto, a cônica definida pela equação original, após a translação, é uma hipérbole.

Resposta

Após a translação, a equação da cônica nas coordenadas é , e essa cônica é uma hipérbole.

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Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).
Considere , o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios e como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .