Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma translação do sistema de coordenadas para o ponto . A gente precisa encontrar a equação da reta nesse novo sistema de coordenadas, usando . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a translação de eixos e como adaptar a equação da reta para o novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é translação de sistema de coordenadas. Transladar o sistema para o ponto significa que o novo sistema tem sua origem deslocada 2 unidades na direção x e 3 unidades na direção y em relação ao sistema original .

Passo 3

Então, para relacionar as coordenadas do sistema original com as coordenadas do sistema transladado, usamos as seguintes equações:
Essas equações dizem como os pontos se movem de um sistema para o outro.

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões na equação da reta original . Substituindo e pelas suas expressões em termos de e :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Subtraindo 3 de ambos os lados:
Essa é a equação da reta no novo sistema de coordenadas .

Resposta

A equação da reta no sistema transladado é .

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Considere , o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios e como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .