*Seja A=(ccc1 & 2 & 0 3 & -1 & 4), encontre as matrizes A A^t e A^t A, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as matrizes e , onde é uma matriz dada. O conteúdo aqui envolve multiplicação de matrizes e transposição de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a matriz transposta de e depois fazer as multiplicações conforme solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz transposta de A = 1 & 2 & 0 3 & -1 & 4 . A transposta de uma matriz é basicamente trocar suas linhas por colunas. Ou seja, se A^t = 1 & 3 2 & -1 0 & 4 tem 2 linhas e 3 colunas, terá 3 linhas e 2 colunas.
A matriz é:
Então, a transposta será:

Passo 3

Agora vamos calcular A A^t = 1 & 2 & 0 3 & -1 & 4 1 & 3 2 & -1 0 & 4 . Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, A A^t = 5 & 1 1 & 26 é 2x3 e é 3x2, então a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x2.
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
Então,

Passo 4

Agora vamos calcular A^t A = 1 & 3 2 & -1 0 & 4 1 & 2 & 0 3 & -1 & 4 . Novamente, verificamos as dimensões: A^t A = 10 & -1 & 12 -1 & 5 & -4 12 & -4 & 16 é 3x2 e é 2x3, então a multiplicação resulta em uma matriz 3x3.
Vamos multiplicar:
Calculando cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então,

Resposta

As matrizes solicitadas são:
A A^t = 5 & 1 1 & 26
e
A^t A = 10 & -1 & 12 -1 & 5 & -4 12 & -4 & 16

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