Se A é uma matriz 2 times 3 e B é uma matriz 3 times 2, a matriz B A pode ser invertivel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a matriz , onde é uma matriz e é uma matriz , pode ser inversível. Vamos usar conceitos de álgebra linear para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira precisa ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, tem 3 colunas e tem 3 linhas, então a multiplicação é válida e resulta em uma matriz .

Passo 3

Agora, uma matriz é inversível se ela for quadrada (o que é o caso aqui, ) e tiver determinante diferente de zero. Outra forma de ver isso é pela classificação da matriz, ou seja, sua “chegada” completa, chamada de posto.

Passo 4

Para a matriz ser inversível, ela precisa ter posto máximo, que neste caso é 2 (já que é ). O posto de depende dos postos das matrizes e .

Passo 5

A matriz é e o maior posto que ela pode ter é 2. O mesmo vale para , que é . Se tanto quanto têm posto 2, então é possível que também tenha posto 2.

Passo 6

Então, se e são matrizes de posto completo (ou seja, tem posto 2 e tem posto 2), a multiplicação resultará em uma matriz com posto 2, o que a torna inversível.

Resposta

Sim, a matriz pode ser inversível se tanto quanto tiverem posto completo, ou seja, posto 2.

Exercícios relacionados