Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a matriz dada é invertível e, se for, calcular sua inversa. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguir em frente para achar a inversa usando a matriz dos cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Nossa matriz é:
A = 1 & 2 & 0 1 & 3 & 1 1 & 5 & 0
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui:
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Agora vamos calcular a inversa dela.
Passo 4
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde C11 = 3 & 1 5 & 0 = (3 cdot 0) - (1 cdot 5) = -5 é a matriz adjunta. Para calcular a adjunta, precisamos encontrar a matriz dos cofatores e depois transpor ela.