Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a matriz dada é invertível e, se for, calcular sua inversa. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguir em frente para achar a inversa usando a matriz dos cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Nossa matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui:
Substituindo os valores:
Passo 3
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Agora vamos calcular a inversa dela.
Passo 4
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
Onde é a matriz adjunta. Para calcular a adjunta, precisamos encontrar a matriz dos cofatores e depois transpor ela.
Vamos calcular cada cofator:
Cofator C11:
Cofator C12:
Cofator C13:
Cofator C21:
Cofator C22:
Cofator C23:
Cofator C31:
Cofator C32:
Cofator C33:
Agora, a matriz dos cofatores é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores: