Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a matriz dada é invertível e, se for, calcular sua inversa. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguir em frente para achar a inversa usando a matriz dos cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Nossa matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui:
Substituindo os valores:

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Agora vamos calcular a inversa dela.

Passo 4

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
Onde é a matriz adjunta. Para calcular a adjunta, precisamos encontrar a matriz dos cofatores e depois transpor ela.
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C11:
  • Cofator C12:
  • Cofator C13:
  • Cofator C21:
  • Cofator C22:
  • Cofator C23:
  • Cofator C31:
  • Cofator C32:
  • Cofator C33:
Agora, a matriz dos cofatores é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da inversa:
Multiplicando cada elemento da adjunta por :

Resposta

A inversa da matriz é:

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