Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
(lll1 & 2 & 0 1 & 3 & 1 1 & 5 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a matriz dada é invertível e, se for, calcular sua inversa. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguir em frente para achar a inversa usando a matriz dos cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Nossa matriz é:
A = 1 & 2 & 0 1 & 3 & 1 1 & 5 & 0
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Substituindo os valores:
det(A) = 1(3 cdot 0 - 1 cdot 5) - 2(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0(1 cdot 5 - 3 cdot 1)
det(A) = 1(0 - 5) - 2(0 - 1) + 0(5 - 3)
det(A) = -5 + 2 + 0 = -3

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Agora vamos calcular a inversa dela.

Passo 4

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde C11 = 3 & 1 5 & 0 = (3 cdot 0) - (1 cdot 5) = -5 é a matriz adjunta. Para calcular a adjunta, precisamos encontrar a matriz dos cofatores e depois transpor ela.
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C11:
    C12 = - 1 & 1 1 & 0 = -((1 cdot 0) - (1 cdot 1)) = 1
  • Cofator C12:
    C13 = 1 & 3 1 & 5 = (1 cdot 5) - (3 cdot 1) = 2
  • Cofator C13:
    C21 = - 2 & 0 5 & 0 = -((2 cdot 0) - (0 cdot 5)) = 0
  • Cofator C21:
    C22 = 1 & 0 1 & 0 = (1 cdot 0) - (0 cdot 1) = 0
  • Cofator C22:
    C23 = - 1 & 2 1 & 5 = -((1 cdot 5) - (2 cdot 1)) = -3
  • Cofator C23:
    C31 = 2 & 0 3 & 1 = (2 cdot 1) - (0 cdot 3) = 2
  • Cofator C31:
    C32 = - 1 & 0 1 & 1 = -((1 cdot 1) - (0 cdot 1)) = -1
  • Cofator C32:
    C33 = 1 & 2 1 & 3 = (1 cdot 3) - (2 cdot 1) = 1
  • Cofator C33:
    C = -5 & 1 & 2 0 & 0 & -3 2 & -1 & 1
Agora, a matriz dos cofatores adj(A) = C^T = -5 & 0 & 2 1 & 0 & -1 2 & -3 & 1 é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-3 cdot -5 & 0 & 2 1 & 0 & -1 2 & -3 & 1
Multiplicando cada elemento da adjunta por A^-1 = 53 & 0 & -23 -13 & 0 & 13 -23 & 1 & -13 :

Resposta

A inversa da matriz é:
A^-1 = 53 & 0 & -23 -13 & 0 & 13 -23 & 1 & -13

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