Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação de uma cônica no plano :
A gente precisa identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, etc.), fazer umas mudanças de coordenadas para simplificar a equação, e depois encontrar características como vértices e focos. Para fazer isso, vamos precisar usar técnicas de completamento do quadrado e conhecer um pouco sobre as formas padrão das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação separando os termos de e :
Aqui, percebemos que temos termos quadráticos para e , o que indica que estamos lidando com uma cônica.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para conseguir a forma reduzida da cônica.
Para o :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  2. Completamos o quadrado dentro do parêntese:
  3. Substituímos de volta:
Para o :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  2. Completamos o quadrado dentro do parêntese:
  3. Substituímos de volta:

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original:
Vamos simplificar:
Agora, isolamos os termos quadráticos:

Passo 5

Dividindo tudo por 225 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:

Passo 6

Essa é a forma padrão de uma elipse:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
  • Centro
  • então
  • então
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse com centro no ponto , eixo maior de comprimento e eixo menor de comprimento .

Resposta

Através das mudanças de coordenadas apropriadas, a equação dada foi simplificada para a forma padrão de uma elipse:
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse com centro no ponto .

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