Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação de uma cônica no plano
:
A gente precisa identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, etc.), fazer umas mudanças de coordenadas para simplificar a equação, e depois encontrar características como vértices e focos. Para fazer isso, vamos precisar usar técnicas de completamento do quadrado e conhecer um pouco sobre as formas padrão das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação separando os termos de
e
:
Aqui, percebemos que temos termos quadráticos para
e
, o que indica que estamos lidando com uma cônica.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
para conseguir a forma reduzida da cônica.
Para o
:
- Fatoramos o coeficiente de
: - Completamos o quadrado dentro do parêntese:
- Substituímos de volta:
Para o
:
- Fatoramos o coeficiente de
: - Completamos o quadrado dentro do parêntese:
- Substituímos de volta:
Passo 4
Substituindo esses resultados na equação original:
Vamos simplificar:
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Passo 5
Dividindo tudo por 225 para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Essa é a forma padrão de uma elipse:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
- Centro
-
então -
então
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse com centro no ponto
, eixo maior de comprimento
e eixo menor de comprimento
.
Resposta
Através das mudanças de coordenadas apropriadas, a equação dada foi simplificada para a forma padrão de uma elipse:
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse com centro no ponto
.
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Considere a matriz
.
a) Encontre os autovalores de ;
a) Encontre os autovalores de
a) Considere
. Encnotre, caso exista,
tal que
e
sejam ortogonais.