Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
9 x^2-36 x-89+25 y^2+100 y=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas x y ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas x y, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação de uma cônica no plano 9x^2 - 36x - 89 + 25y^2 + 100y = 0 :
A gente precisa identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, etc.), fazer umas mudanças de coordenadas para simplificar a equação, e depois encontrar características como vértices e focos. Para fazer isso, vamos precisar usar técnicas de completamento do quadrado e conhecer um pouco sobre as formas padrão das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação separando os termos de 9x^2 - 36x + 25y^2 + 100y = 89 e :
Aqui, percebemos que temos termos quadráticos para e , o que indica que estamos lidando com uma cônica.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9(x^2 - 4x) e x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4 para conseguir a forma reduzida da cônica.
Para o 9[(x - 2)^2 - 4] = 9(x - 2)^2 - 36 :
  1. Fatoramos o coeficiente de 25(y^2 + 4y) : y^2 + 4y + 4 - 4 = (y + 2)^2 - 4
  2. Completamos o quadrado dentro do parêntese: 25[(y + 2)^2 - 4] = 25(y + 2)^2 - 100
  3. Substituímos de volta:
Para o :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  2. Completamos o quadrado dentro do parêntese:
  3. Substituímos de volta:

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original:
9(x - 2)^2 - 36 + 25(y + 2)^2 - 100 = 89
Vamos simplificar:
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 - 136 = 89
Agora, isolamos os termos quadráticos:
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 89 + 136
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 225

Passo 5

Dividindo tudo por 225 para obter a forma padrão:
9(x - 2)^2225 + 25(y + 2)^2225 = 1
Simplificando as frações:
(x - 2)^225 + (y + 2)^29 = 1

Passo 6

Essa é a forma padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, vemos que:
  • Centro
  • então
  • então
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse com centro no ponto , eixo maior de comprimento e eixo menor de comprimento .

Resposta

Através das mudanças de coordenadas apropriadas, a equação dada foi simplificada para a forma padrão de uma elipse:
(x - 2)^225 + (y + 2)^29 = 1
Portanto, a cônica representada pela equação é uma elipse com centro no ponto .

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