Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(d) O conjunto , com operações usuais, é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para julgar se uma afirmação é verdadeira ou falsa, e depois justificar. A afirmação é sobre o conjunto com as operações usuais. O conteúdo aqui é álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, polinômios de grau até 2) que satisfazem oito propriedades básicas relacionadas à adição e à multiplicação por escalar. Essas propriedades incluem a existência de um elemento neutro, existência de inversos, associatividade, comutatividade, e outras.

Passo 3

Vamos conferir se atende a essas propriedades:
  1. Fechamento na adição: Se você pegar dois polinômios de grau até 2 e somar, o resultado também será um polinômio de grau até 2. Então, está fechado na adição.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio de por um número real, o resultado ainda será um polinômio de grau até 2. Então, também está fechado aqui.
  3. Existência do elemento neutro: O polinômio zero está em e funciona como o elemento neutro na adição.
  4. Existência de inversos: Para qualquer polinômio , existe o polinômio que é o inverso aditivo.
  5. Associatividade e comutatividade da adição: A adição de polinômios é associativa e comutativa, como nas operações normais de soma.
  6. Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de polinômios e sobre a adição de escalares.

Passo 4

Como todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial estão satisfeitas por , podemos concluir que, sim, esse conjunto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é de fato um espaço vetorial.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O conjunto com operações usuais é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial sobre . Ponhamos por definição . Verificar se ( é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) ;
(b) e ©: exercício.
(d) , então obviamente vale esta condição; se existe em V , então temos com , o que mostra que , não define um produto interno sobre .
Usando o produto interno em , determinar o produto escalar de:
a) e .
Solução
a) .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .