Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(d) O conjunto
, com operações usuais, é um espaço vetorial.
(d) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para julgar se uma afirmação é verdadeira ou falsa, e depois justificar. A afirmação é sobre o conjunto
com as operações usuais. O conteúdo aqui é álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, polinômios de grau até 2) que satisfazem oito propriedades básicas relacionadas à adição e à multiplicação por escalar. Essas propriedades incluem a existência de um elemento neutro, existência de inversos, associatividade, comutatividade, e outras.
Passo 3
Vamos conferir se
atende a essas propriedades:
-
Fechamento na adição: Se você pegar dois polinômios de grau até 2 e somar, o resultado também será um polinômio de grau até 2. Então, está fechado na adição.
-
Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio de
por um número real, o resultado ainda será um polinômio de grau até 2. Então, também está fechado aqui. -
Existência do elemento neutro: O polinômio zero
está em e funciona como o elemento neutro na adição. -
Existência de inversos: Para qualquer polinômio
, existe o polinômio que é o inverso aditivo. -
Associatividade e comutatividade da adição: A adição de polinômios é associativa e comutativa, como nas operações normais de soma.
-
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de polinômios e sobre a adição de escalares.
Passo 4
Como todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial estão satisfeitas por
, podemos concluir que, sim, esse conjunto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é de fato um espaço vetorial.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O conjunto
com operações usuais é um espaço vetorial.