Considere a matriz
.
a) Encontre os autovalores de
;
a) Encontre os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma matriz. O que precisamos fazer é encontrar os valores que, quando multiplicados por um vetor próprio, o resultado é o mesmo que aplicar a matriz original nesse vetor. Para isso, vamos usar a matriz dada:
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o polinômio característico da matriz
. Isso envolve calcular o determinante da matriz
, onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
O polinômio característico é
. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Calculando as duas soluções:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.