Considere a matriz
.
a) Encontre os autovalores de
;
a) Encontre os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma matriz. O que precisamos fazer é encontrar os valores que, quando multiplicados por um vetor próprio, o resultado é o mesmo que aplicar a matriz original nesse vetor. Para isso, vamos usar a matriz dada:
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o polinômio característico da matriz
. Isso envolve calcular o determinante da matriz
, onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
O polinômio característico é
. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Calculando as duas soluções:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.
Exercícios relacionados
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
(f)
a) Considere
. Encnotre, caso exista,
tal que
e
sejam ortogonais.
No espaço
consideremos o produto interno
. Calcular
quando
. Repita o exercício com
.