Considere a matriz .
a) Encontre os autovalores de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma matriz. O que precisamos fazer é encontrar os valores que, quando multiplicados por um vetor próprio, o resultado é o mesmo que aplicar a matriz original nesse vetor. Para isso, vamos usar a matriz dada:

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o polinômio característico da matriz . Isso envolve calcular o determinante da matriz , onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

O polinômio característico é . Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Calculando as duas soluções:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

Exercícios relacionados

Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
a) Considere . Encnotre, caso exista, tal que e sejam ortogonais.
No espaço consideremos o produto interno . Calcular quando . Repita o exercício com .