Considere a matriz A=(ll1 & 2 3 & 2).
a) Encontre os autovalores de A;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre autovalores de uma matriz. O que precisamos fazer é encontrar os valores que, quando multiplicados por um vetor próprio, o resultado é o mesmo que aplicar a matriz original nesse vetor. Para isso, vamos usar a matriz dada:
A = 1 & 2 3 & 2

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o polinômio característico da matriz . Isso envolve calcular o determinante da matriz , onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 2 3 & 2 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (2)(3)
= (1 cdot 2) - (1 cdot lambda) - (2 cdot lambda) + (lambda^2) - 6
= 2 - lambda - 2lambda + lambda^2 - 6
= lambda^2 - 3lambda - 4

Passo 5

O polinômio característico é lambda^2 - 3lambda - 4 = 0 . Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-4)2 cdot 1
= 3 pm raiz9 + 162
= 3 pm raiz252
= 3 pm 52

Passo 7

Calculando as duas soluções:
lambda1 = 3 + 52 = 82 = 4
lambda2 = 3 - 52 = -22 = -1

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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