Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f)
, com as operações usuais, é um espaço vetorial.
(f)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “
, com as operações usuais, é um espaço vetorial.” Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com a conceito de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele deve satisfazer oito axiomas que garantem que essas operações funcionam de maneira consistente.
Passo 3
As operações usuais em
são:
- Adição de vetores: Se temos dois vetores
e , então . - Multiplicação por escalar: Se
é um número real e , então .
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial:
- Fechamento na adição: A adição de dois vetores em
resulta em outro vetor em . ✔️ - Comutatividade da adição:
. ✔️ - Associatividade da adição:
. ✔️ - Elemento neutro: Existe um vetor zero
tal que . ✔️ - Elementos inversos: Para cada
, existe tal que . ✔️ - Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor em
. ✔️ - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. ✔️ - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. ✔️ - Associatividade da multiplicação por escalar:
. ✔�� - Multiplicação por escalar 1:
. ✔️
Resposta
Verdadeiro.
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, sendo assim um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(d) O conjunto , com operações usuais, é um espaço vetorial.
(d) O conjunto
Seja
um espaço vetorial sobre
. Ponhamos por definição
. Verificar se (
é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) ;
(b) e ©: exercício.
(d) , então obviamente vale esta condição; se existe
em V , então temos
com
, o que mostra que
, não define um produto interno sobre
.
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a)
(b) e ©: exercício.
(d)
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Considere a matriz
.
a) Encontre os autovalores de ;
a) Encontre os autovalores de