Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f) O R^3, com as operações usuais, é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “ R^3, com as operações usuais, é um espaço vetorial.” Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com a conceito de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos verificar se R^3 satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele deve satisfazer oito axiomas que garantem que essas operações funcionam de maneira consistente.

Passo 3

As operações usuais em R^3 são:
  • Adição de vetores: Se temos dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3).
  • Multiplicação por escalar: Se c é um número real e u = (u1, u2, u3), então cu = (c u1, c u2, c u3).

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A adição de dois vetores em R^3 resulta em outro vetor em R^3. ✔️
  2. Comutatividade da adição: u + v = v + u. ✔️
  3. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w). ✔️
  4. Elemento neutro: Existe um vetor zero 0 = (0, 0, 0) tal que u + 0 = u. ✔️
  5. Elementos inversos: Para cada u, existe -u tal que u + (-u) = 0. ✔️
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor em R^3. ✔️
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: c(u + v) = cu + cv. ✔️
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (c + d)u = cu + du. ✔️
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: c(du) = (cd)u. ✔��
  10. Multiplicação por escalar 1: 1u = u. ✔️

Resposta

Verdadeiro. R^3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, sendo assim um espaço vetorial.

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