Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f)
, com as operações usuais, é um espaço vetorial.
(f)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “
, com as operações usuais, é um espaço vetorial.” Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com a conceito de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele deve satisfazer oito axiomas que garantem que essas operações funcionam de maneira consistente.
Passo 3
As operações usuais em
são:
- Adição de vetores: Se temos dois vetores
e , então . - Multiplicação por escalar: Se
é um número real e , então .
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial:
- Fechamento na adição: A adição de dois vetores em
resulta em outro vetor em . ✔️ - Comutatividade da adição:
. ✔️ - Associatividade da adição:
. ✔️ - Elemento neutro: Existe um vetor zero
tal que . ✔️ - Elementos inversos: Para cada
, existe tal que . ✔️ - Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor em
. ✔️ - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. ✔️ - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. ✔️ - Associatividade da multiplicação por escalar:
. ✔�� - Multiplicação por escalar 1:
. ✔️
Resposta
Verdadeiro.
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, sendo assim um espaço vetorial.