Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “ , com as operações usuais, é um espaço vetorial.” Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com a conceito de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele deve satisfazer oito axiomas que garantem que essas operações funcionam de maneira consistente.

Passo 3

As operações usuais em são:
  • Adição de vetores: Se temos dois vetores e , então .
  • Multiplicação por escalar: Se é um número real e , então .

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A adição de dois vetores em resulta em outro vetor em . ✔️
  2. Comutatividade da adição: . ✔️
  3. Associatividade da adição: . ✔️
  4. Elemento neutro: Existe um vetor zero tal que . ✔️
  5. Elementos inversos: Para cada , existe tal que . ✔️
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em outro vetor em . ✔️
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: . ✔️
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: . ✔️
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: . ✔��
  10. Multiplicação por escalar 1: . ✔️

Resposta

Verdadeiro. , com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, sendo assim um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(d) O conjunto , com operações usuais, é um espaço vetorial.
Seja um espaço vetorial sobre . Ponhamos por definição . Verificar se ( é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) ;
(b) e ©: exercício.
(d) , então obviamente vale esta condição; se existe em V , então temos com , o que mostra que , não define um produto interno sobre .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Considere a matriz .
a) Encontre os autovalores de ;