Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação de uma cônica no plano
que é
. A gente vai precisar usar o conteúdo de conicas, especificamente sobre elipses e hipérboles, para esboçar essa curva no sistema de coordenadas. Vamos precisar completar o quadrado para deixar a equação na forma padrão e identificar os principais elementos da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos de
e de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
separadamente.
Passo 3
Para completar o quadrado nos termos de
:
- Fatoramos o coeficiente de
: - Completa o quadrado dentro do parêntese. Para
, metade de 4 é 2 e : Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
- Fatoramos o coeficiente de
: - Completa o quadrado dentro do parêntese. Para
, metade de 4 é 2 e : Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo e isolar os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por 225 para obter a forma padrão:
Resposta
A equação da cônica na forma padrão é
Isso representa uma elipse com centro no ponto
, eixo maior de comprimento
ao longo do eixo
e eixo menor de comprimento
ao longo do eixo
. No esboço, desenhe a elipse centrada em
, se estendendo 5 unidades para a direita e esquerda e 3 unidades para cima e para baixo.
Exercícios relacionados
Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real , a solução do sistema
(a) para cada número real
descreve uma reta
.
Obtenha uma equação que descreva o conjunto
, reunião das retas que contém o ponto
e são tangentes à superfície esférica
.
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
Considere a transformação linear
definida por
©
é um isomorfismo? Justifique.