Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
9 x^2-36 x-89+25 y^2+100 y=0
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação de uma cônica no plano xy que é 9 x^2 - 36 x - 89 + 25 y^2 + 100 y = 0. A gente vai precisar usar o conteúdo de conicas, especificamente sobre elipses e hipérboles, para esboçar essa curva no sistema de coordenadas. Vamos precisar completar o quadrado para deixar a equação na forma padrão e identificar os principais elementos da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos de x e de y:
9x^2 - 36x + 25y^2 + 100y = 89
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e de y separadamente.

Passo 3

Para completar o quadrado nos termos de x:
  1. Fatoramos o coeficiente de x^2: 9(x^2 - 4x) + 25y^2 + 100y = 89
  2. Completa o quadrado dentro do parêntese. Para x^2 - 4x, metade de 4 é 2 e 2^2 = 4: 9(x^2 - 4x + 4 - 4) + 25y^2 + 100y = 89 Simplificando: 9((x - 2)^2 - 4) + 25y^2 + 100y = 89

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de y:
  1. Fatoramos o coeficiente de y^2: 9(x - 2)^2 - 36 + 25(y^2 + 4y) = 89
  2. Completa o quadrado dentro do parêntese. Para y^2 + 4y, metade de 4 é 2 e 2^2 = 4: 9(x - 2)^2 - 36 + 25((y + 2)^2 - 4) = 89 Simplificando: 9(x - 2)^2 - 36 + 25(y + 2)^2 - 100 = 89

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo e isolar os termos quadráticos:
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 89 + 36 + 100
9(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 225
Dividindo ambos os lados por 225 para obter a forma padrão:
(x - 2)^225 + (y + 2)^29 = 1

Resposta

A equação da cônica na forma padrão é
(x - 2)^225 + (y + 2)^29 = 1
Isso representa uma elipse com centro no ponto (2, -2), eixo maior de comprimento 2 times 5 = 10 ao longo do eixo x e eixo menor de comprimento 2 times 3 = 6 ao longo do eixo y. No esboço, desenhe a elipse centrada em (2, -2), se estendendo 5 unidades para a direita e esquerda e 3 unidades para cima e para baixo.

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