Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação de uma cônica no plano que é . A gente vai precisar usar o conteúdo de conicas, especificamente sobre elipses e hipérboles, para esboçar essa curva no sistema de coordenadas. Vamos precisar completar o quadrado para deixar a equação na forma padrão e identificar os principais elementos da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os termos de e de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de separadamente.

Passo 3

Para completar o quadrado nos termos de :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  2. Completa o quadrado dentro do parêntese. Para , metade de 4 é 2 e : Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  2. Completa o quadrado dentro do parêntese. Para , metade de 4 é 2 e : Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo e isolar os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por 225 para obter a forma padrão:

Resposta

A equação da cônica na forma padrão é
Isso representa uma elipse com centro no ponto , eixo maior de comprimento ao longo do eixo e eixo menor de comprimento ao longo do eixo . No esboço, desenhe a elipse centrada em , se estendendo 5 unidades para a direita e esquerda e 3 unidades para cima e para baixo.

Exercícios relacionados

Seja o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real , a solução do sistema
descreve uma reta .
Obtenha uma equação que descreva o conjunto , reunião das retas que contém o ponto e são tangentes à superfície esférica .
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
Considere a transformação linear definida por
© é um isomorfismo? Justifique.