Obtenha uma equação que descreva o conjunto , reunião das retas que contém o ponto e são tangentes à superfície esférica .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação que descreve o conjunto , que é a reunião de todas as retas que passam pelo ponto e que são tangentes à superfície esférica .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente o conceito de tangentes a superfícies.
O que precisamos: Saber como determinar retas tangentes a uma esfera e como representar o conjunto dessas retas matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera de forma mais simples, completando os quadrados para identificar o centro e o raio.
A equação da esfera é:
Completando os quadrados para e :
Agora, sabemos que a esfera tem centro em e raio .

Passo 3

Vamos pensar nas retas que passam por e são tangentes à esfera . Uma reta que passa por pode ser parametrizada como:
onde é o vetor diretor da reta.
Para a reta ser tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera e a reta deve ser igual ao raio .

Passo 4

A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta parametrizada por é:
Queremos que essa distância seja igual ao raio da esfera, ou seja, .

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos:
  • Ponto
  • Ponto
  • Vetor diretor (vamos usar letras genéricas para os componentes)
A condição para tangência fica:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação:

Passo 7

Agora, queremos representar todas as retas que satisfazem essa condição. Para isso, podemos expressar a relação entre , e de forma que descreva o conjunto .
Podemos parametrizar a reta usando um parâmetro e expressar , , e em termos de . Após algumas manipulações, chegamos à equação que descreve todas as retas tangentes:

Resposta

A equação que descreve o conjunto é:

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