Obtenha uma equação que descreva o conjunto
, reunião das retas que contém o ponto
e são tangentes à superfície esférica
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação que descreve o conjunto
, que é a reunião de todas as retas que passam pelo ponto
e que são tangentes à superfície esférica
.
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente o conceito de tangentes a superfícies.
O que precisamos: Saber como determinar retas tangentes a uma esfera e como representar o conjunto dessas retas matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera de forma mais simples, completando os quadrados para identificar o centro e o raio.
A equação da esfera é:
Completando os quadrados para
e
:
Agora, sabemos que a esfera
tem centro em
e raio
.
Passo 3
Vamos pensar nas retas que passam por
e são tangentes à esfera
. Uma reta que passa por
pode ser parametrizada como:
onde
é o vetor diretor da reta.
Para a reta ser tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera
e a reta deve ser igual ao raio
.
Passo 4
A fórmula para a distância
entre um ponto
e uma reta parametrizada por
é:
Queremos que essa distância seja igual ao raio da esfera, ou seja,
.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos:
- Ponto
- Ponto
-
- Vetor diretor
(vamos usar letras genéricas para os componentes)
A condição para tangência fica:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação:
Passo 7
Agora, queremos representar todas as retas que satisfazem essa condição. Para isso, podemos expressar a relação entre
,
e
de forma que descreva o conjunto
.
Podemos parametrizar a reta usando um parâmetro
e expressar
,
, e
em termos de
. Após algumas manipulações, chegamos à equação que descreve todas as retas tangentes:
Resposta
A equação que descreve o conjunto
é:
Exercícios relacionados
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e
, sabendo que a elipse passa pelo ponto
.
(b) os focos
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
© os focos
Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real , a solução do sistema
(a) para cada número real
descreve uma reta
.
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.