Obtenha uma equação que descreva o conjunto Omega, reunião das retas que contém o ponto V= (4,4,0) e são tangentes à superfície esférica S: x^2+y^2+z^2-2 x-2 y+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação que descreve o conjunto Omega, que é a reunião de todas as retas que passam pelo ponto V = (4, 4, 0) e que são tangentes à superfície esférica S: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 1 = 0.
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente o conceito de tangentes a superfícies.
O que precisamos: Saber como determinar retas tangentes a uma esfera e como representar o conjunto dessas retas matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera de forma mais simples, completando os quadrados para identificar o centro e o raio.
A equação da esfera é:
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 1 = 0
Completando os quadrados para x e y:
(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + z^2 + 1 = 0 (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 + 1 = 0 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 - 1 = 0 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1
Agora, sabemos que a esfera S tem centro em C = (1, 1, 0) e raio r = 1.

Passo 3

Vamos pensar nas retas que passam por V = (4, 4, 0) e são tangentes à esfera S. Uma reta que passa por V pode ser parametrizada como:
r(t) = V + td
onde d é o vetor diretor da reta.
Para a reta ser tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera C e a reta deve ser igual ao raio r.

Passo 4

A fórmula para a distância D entre um ponto C(x0, y0, z0) e uma reta parametrizada por r(t) = V + td é:
D = |d times (V - C)||d|
Queremos que essa distância seja igual ao raio da esfera, ou seja, D = r = 1.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos:
  • Ponto V = (4, 4, 0)
  • Ponto C = (1, 1, 0)
  • V - C = (4-1, 4-1, 0-0) = (3, 3, 0)
  • Vetor diretor d = (a, b, c) (vamos usar letras genéricas para os componentes)
A condição para tangência fica:
raiz(b cdot 0 - c cdot 3)^2 + (c cdot 3 - a cdot 0)^2 + (a cdot 3 - b cdot 3)^2raiza^2 + b^2 + c^2 = 1
Simplificando:
raiz( -3c)^2 + (3c)^2 + (3a - 3b)^2 = raiza^2 + b^2 + c^2 raiz9c^2 + 9c^2 + 9(a - b)^2 = raiza^2 + b^2 + c^2 raiz18c^2 + 9(a - b)^2 = raiza^2 + b^2 + c^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
18c^2 + 9(a - b)^2 = a^2 + b^2 + c^2

Passo 6

Vamos reorganizar a equação:
18c^2 + 9(a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2 + c^2 18c^2 + 9a^2 - 18ab + 9b^2 = a^2 + b^2 + c^2 9a^2 - a^2 + 9b^2 - b^2 + 18c^2 - c^2 - 18ab = 0 8a^2 + 8b^2 + 17c^2 - 18ab = 0

Passo 7

Agora, queremos representar todas as retas que satisfazem essa condição. Para isso, podemos expressar a relação entre a, b e c de forma que descreva o conjunto Omega.
Podemos parametrizar a reta usando um parâmetro t e expressar a, b, e c em termos de t. Após algumas manipulações, chegamos à equação que descreve todas as retas tangentes:
Omega: r(t) = (4, 4, 0) + t(a, b, c) tal que 8a^2 + 8b^2 + 17c^2 - 18ab = 0

Resposta

A equação que descreve o conjunto Omega é:
Omega: 8a^2 + 8b^2 + 17c^2 - 18ab = 0

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