Seja o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real , a solução do sistema
descreve uma reta .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de um hiperbolóide de uma folha. O objetivo é:
  1. Mostrar que a equação original
    pode ser reescrita como
  2. Provar que, para cada número real , a solução do sistema
    descreve uma reta .
Para isso, vamos precisar usar algebra e geometria analítica, especialmente propriedades de equações de superfícies e de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação original do hiperbolóide de uma folha:
Nossa meta é manipular essa equação para chegar à forma desejada:

Passo 3

Vamos começar expandindo os produtos em cada lado da equação que queremos obter.
Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:

Passo 4

Agora que expandimos ambos os lados, podemos substituir na nossa equação original:
Essa é exatamente a equação original do hiperbolóide de uma folha:
Portanto, mostramos que:

Passo 5

Agora, vamos provar que para cada , a solução do sistema dado descreve uma reta .
O sistema é:

Passo 6

Primeiro, vamos resolver o sistema para expressar , e em termos de um parâmetro.
Vamos chamar e para simplificar a notação.
Então, o sistema fica:

Passo 7

Vamos resolver as equações para e .
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, vamos somar as equações (1) e (2):
Simplificando:

Passo 8

Para facilitar, vamos considerar que , o que nos permite resolver para e .
Vamos isolar :
Primeiro, reescrevemos a equação:
Mas essa abordagem está ficando complicada. Em vez disso, vamos resolver o sistema de forma diferente.
Multiplicamos a primeira equação por :
Subtraímos a segunda equação:
Isso simplifica para:

Passo 9

Resolvendo para :
Agora, podemos expressar em termos de .
Mas para simplificar, vamos considerar que a solução do sistema nos dá expressões lineares para , e , caracterizando assim uma reta no espaço.

Passo 10

Para mostrar que a solução é uma reta, precisamos expressar , e em função de um parâmetro, digamos .
Assumindo que , substituímos em ambas as equações.
Então:
Agora, temos um sistema linear em e que pode ser resolvido para expressar e em função de .

Passo 11

Resolvendo o sistema para e :
Primeira equação:
Segunda equação:
Dividindo a equação (B) por (assumindo ):
Agora, temos:
Somando as equações (A) e ©:
Subtraindo a equação © da equação (A):

Passo 12

Agora, temos , e expressos em termos de :
Isso mostra que , e são funções lineares de , o que caracteriza uma reta no espaço tridimensional.

Resposta

Assim, para cada número real , a solução do sistema dado descreve uma reta no espaço, comprovando a afirmação do exercício.

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