Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real
, a solução do sistema
descreve uma reta
.
(a) para cada número real
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata de um hiperbolóide de uma folha. O objetivo é:
-
Mostrar que a equação originalpode ser reescrita como
-
Provar que, para cada número real
, a solução do sistema descreve uma reta.
Para isso, vamos precisar usar algebra e geometria analítica, especialmente propriedades de equações de superfícies e de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação original do hiperbolóide de uma folha:
Nossa meta é manipular essa equação para chegar à forma desejada:
Passo 3
Vamos começar expandindo os produtos em cada lado da equação que queremos obter.
Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Passo 4
Agora que expandimos ambos os lados, podemos substituir na nossa equação original:
Essa é exatamente a equação original do hiperbolóide de uma folha:
Portanto, mostramos que:
Passo 5
Agora, vamos provar que para cada
, a solução do sistema dado descreve uma reta
.
O sistema é:
Passo 6
Primeiro, vamos resolver o sistema para expressar
,
e
em termos de um parâmetro.
Vamos chamar
e
para simplificar a notação.
Então, o sistema fica:
Passo 7
Vamos resolver as equações para
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, vamos somar as equações (1) e (2):
Simplificando:
Passo 8
Para facilitar, vamos considerar que
, o que nos permite resolver para
e
.
Vamos isolar
:
Primeiro, reescrevemos a equação:
Mas essa abordagem está ficando complicada. Em vez disso, vamos resolver o sistema de forma diferente.
Multiplicamos a primeira equação por
:
Subtraímos a segunda equação:
Isso simplifica para:
Passo 9
Resolvendo para
:
Agora, podemos expressar
em termos de
.
Mas para simplificar, vamos considerar que a solução do sistema nos dá expressões lineares para
,
e
, caracterizando assim uma reta no espaço.
Passo 10
Para mostrar que a solução é uma reta, precisamos expressar
,
e
em função de um parâmetro, digamos
.
Assumindo que
, substituímos em ambas as equações.
Então:
Agora, temos um sistema linear em
e
que pode ser resolvido para expressar
e
em função de
.
Passo 11
Resolvendo o sistema para
e
:
Primeira equação:
Segunda equação:
Dividindo a equação (B) por
(assumindo
):
Agora, temos:
Somando as equações (A) e ©:
Subtraindo a equação © da equação (A):
Passo 12
Agora, temos
,
e
expressos em termos de
:
Isso mostra que
,
e
são funções lineares de
, o que caracteriza uma reta no espaço tridimensional.
Resposta
Assim, para cada número real
, a solução do sistema dado descreve uma reta
no espaço, comprovando a afirmação do exercício.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação que descreva o conjunto
, reunião das retas que contém o ponto
e são tangentes à superfície esférica
.
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e
, sabendo que a elipse passa pelo ponto
.
(b) os focos
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.