Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas do centro desta cônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos apresenta a equação de uma cônica no plano
:
Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as cônicas gerais e como determinar seus centros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer cônica pode ser representada pela equação geral:
No nosso caso, identificamos os coeficientes:
Para encontrar o centro da cônica, especialmente quando existe o termo
(que indica que a cônica está rotacionada), precisamos usar as derivadas parciais da função que representa a cônica.
Passo 3
Vamos utilizar as derivadas parciais para determinar as coordenadas do centro
. As derivadas parciais em relação a
e
são dadas por:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando as derivadas:
- Derivada parcial em relação a
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
- Derivada parcial em relação a
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
).
Passo 5
Vamos resolver o sistema formado pelas Equações 1 e 2.
Primeiro, reescrevemos as equações para facilitar:
Equação 1:
Equação 2:
Podemos multiplicar ambas as equações por 2 para eliminar os denominadores:
Equação 1:
Equação 2:
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar pelo método da combinação (eliminação).
Multiplicamos a Equação 1a por 11 e a Equação 2a por 25√3 para igualar os coeficientes de
:
Equação 1a * 11:
Equação 2a * 25 \sqrt{3}:
Simplificando a segunda equação:
Agora somamos as duas equações para eliminar
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2304:
Portanto:
Agora, substituímos o valor de
em uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar a Equação 1a:
Substituindo
:
Multiplicando:
Isolando
:
Calculando:
Dividindo ambos os lados por
:
Racionalizando:
Resposta
Portanto, as coordenadas do centro da cônica são:
Exercícios relacionados
Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(f) .
(f)
Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
© .
©
Sejam
a transformação linear definida por
e
e
polinômios em
. Determine:
(b) .
(b)
Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
© .
©