Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas do centro desta cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos apresenta a equação de uma cônica no plano :
Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as cônicas gerais e como determinar seus centros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer cônica pode ser representada pela equação geral:
No nosso caso, identificamos os coeficientes:
Para encontrar o centro da cônica, especialmente quando existe o termo (que indica que a cônica está rotacionada), precisamos usar as derivadas parciais da função que representa a cônica.

Passo 3

Vamos utilizar as derivadas parciais para determinar as coordenadas do centro . As derivadas parciais em relação a e são dadas por:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  1. Derivada parcial em relação a :
Substituindo os valores:
Simplificando:
çã
  1. Derivada parcial em relação a :
Substituindo os valores:
Simplificando:
çã
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 5

Vamos resolver o sistema formado pelas Equações 1 e 2.
Primeiro, reescrevemos as equações para facilitar:
Equação 1:
Equação 2:
Podemos multiplicar ambas as equações por 2 para eliminar os denominadores:
Equação 1:
çã
Equação 2:
çã
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar pelo método da combinação (eliminação).
Multiplicamos a Equação 1a por 11 e a Equação 2a por 25√3 para igualar os coeficientes de :
Equação 1a * 11:
Equação 2a * 25 \sqrt{3}:
Simplificando a segunda equação:
Agora somamos as duas equações para eliminar :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2304:
Portanto:
Agora, substituímos o valor de em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a Equação 1a:
Substituindo :
Multiplicando:
Isolando :
Calculando:
Dividindo ambos os lados por :
Racionalizando:

Resposta

Portanto, as coordenadas do centro da cônica são:

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© .
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(b) .
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© .