Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
394 x^2+25 raiz32 x y-114 y^2+(9-16 raiz3) x-(16+9 raiz3) y-137=0
(b) Determine as coordenadas do centro desta cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos apresenta a equação de uma cônica no plano 394 x^2+25 raiz32 x y-114 y^2+(9-16 raiz3) x-(16+9 raiz3) y-137=0 :
Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as cônicas gerais e como determinar seus centros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer cônica pode ser representada pela equação geral:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, identificamos os coeficientes:
Para encontrar o centro da cônica, especialmente quando existe o termo (que indica que a cônica está rotacionada), precisamos usar as derivadas parciais da função que representa a cônica.

Passo 3

Vamos utilizar as derivadas parciais para determinar as coordenadas do centro partialpartial x (Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F) = 0 . As derivadas parciais em relação a partialpartial y (Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F) = 0 e são dadas por:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  1. Derivada parcial em relação a 2A x + B y + D = 0 :
2 ( 394 ) x + ( 25 raiz32 ) y + (9 - 16 raiz3) = 0
Substituindo os valores:
392 x + 25 raiz32 y + 9 - 16 raiz3 = 0 (Equação 1)
Simplificando:
B x + 2C y + E = 0 çã
  1. Derivada parcial em relação a 25 raiz32 x + 2 ( -114 ) y + (-16 - 9 raiz3) = 0 :
25 raiz32 x - 112 y - 16 - 9 raiz3 = 0 (Equação 2)
Substituindo os valores:
Simplificando:
çã
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 5

Vamos resolver o sistema formado pelas Equações 1 e 2.
Primeiro, reescrevemos as equações para facilitar:
Equação 1:
392 x + 25 raiz32 y = -9 + 16 raiz3
Equação 2:
25 raiz32 x - 112 y = 16 + 9 raiz3
Podemos multiplicar ambas as equações por 2 para eliminar os denominadores:
Equação 1:
39x + 25 raiz3 y = -18 + 32 raiz3 (Equação 1a) çã
Equação 2:
25 raiz3 x - 11 y = 32 + 18 raiz3 (Equação 2a) çã
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar pelo método da combinação (eliminação).
Multiplicamos a Equação 1a por 11 e a Equação 2a por 25√3 para igualar os coeficientes de 429x + 275 raiz3 y = -198 + 352 raiz3 :
Equação 1a * 11:
625 times 3 x - 275 raiz3 y = 800 raiz3 + 450 times 3
Equação 2a * 25 \sqrt{3}:
1875x - 275 raiz3 y = 800 raiz3 + 1350
Simplificando a segunda equação:
429x + 275 raiz3 y + 1875x - 275 raiz3 y = -198 + 352 raiz3 + 800 raiz3 + 1350
Agora somamos as duas equações para eliminar 2304x = 1152 + 1152 raiz3 :
x = 1152 + 1152 raiz32304 = 12 (1 + raiz3)
Simplificando:
x = 1 + raiz32
Dividindo ambos os lados por 2304:
39x + 25 raiz3 y = -18 + 32 raiz3
Portanto:
39 ( 1 + raiz32 ) + 25 raiz3 y = -18 + 32 raiz3
Agora, substituímos o valor de 39 (1 + raiz3)2 + 25 raiz3 y = -18 + 32 raiz3 em uma das equações originais para encontrar 25 raiz3 y = -18 + 32 raiz3 - 392 (1 + raiz3) . Vamos usar a Equação 1a:
25 raiz3 y = -18 + 32 raiz3 - 392 - 39 raiz32
Substituindo 25 raiz3 y = -752 + 25 raiz32 :
y = -752 + 25 raiz3225 raiz3 = -75 + 25 raiz350 raiz3 = -3 + raiz32 raiz3
Multiplicando:
y = (-3 + raiz3) raiz32 times 3 = -3 raiz3 + 36 = -raiz3 + 12
Isolando :
Calculando:
Dividindo ambos os lados por :
Racionalizando:

Resposta

Portanto, as coordenadas do centro da cônica são:
( 1 + raiz32, 1 - raiz32 )

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