Sejam
a transformação linear definida por
e
e
polinômios em
. Determine:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
e dois polinômios
e
no espaço
. A parte (b) da questão solicita que calculemos
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar um polinômio a uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aplicar um polinômio
a uma transformação linear
significa substituir
por
na expressão do polinômio. Então, temos:
Aqui,
é a matriz identidade e
significa aplicar
duas vezes.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo separadamente. Começamos com
:
Passo 4
Em seguida, calculamos
. Sabemos que:
Multiplicando por -5:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, ou seja, aplicar
duas vezes. Primeiro, aplicamos
a
:
Simplificando:
Então,
.
Passo 6
Agora, somamos todos os termos que calculamos:
No entanto, notamos que
e
já estão aplicados aos vetores
. Na verdade, devemos somar as matrizes correspondentes:
Somando as matrizes: