Sejam T: R^2 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y)=(x+2 y, 3 x+4 y)
e p(t)=-3+2 t+t^2 e q(t)=-2-5 t+t^2 polinômios em P2. Determine:
(b) q(T)(x, y).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por e dois polinômios e no espaço . A parte (b) da questão solicita que calculemos . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar um polinômio a uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aplicar um polinômio q(T) = -2I - 5T + T^2 a uma transformação linear significa substituir por na expressão do polinômio. Então, temos:
Aqui, é a matriz identidade e significa aplicar duas vezes.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo separadamente. Começamos com -2I = -2 1 & 0 0 & 1 = -2 & 0 0 & -2 :

Passo 4

Em seguida, calculamos T(x, y) = x + 2y 3x + 4y . Sabemos que:
-5T = -5 x + 2y 3x + 4y = -5x -10y -15x -20y
Multiplicando por -5:

Passo 5

Agora, vamos calcular T(T(x, y)) = T(x + 2y, 3x + 4y) = (x + 2y) + 2(3x + 4y) 3(x + 2y) + 4(3x + 4y) , ou seja, aplicar = x + 2y + 6x + 8y 3x + 6y + 12x + 16y = 7x + 10y 15x + 22y duas vezes. Primeiro, aplicamos 7 & 10 15 & 22 a :
Simplificando:
Então, .

Passo 6

Agora, somamos todos os termos que calculamos:
q(T) = -2I - 5T + T^2 = -2 & 0 0 & -2 + -5x -10y -15x -20y + 7x + 10y 15x + 22y
No entanto, notamos que q(T) = -2I + (-5)T + T^2 = -2 & 0 0 & -2 + -5 & -10 -15 & -20 + 7 & 10 15 & 22 e q(T) = -2 -5 +7 & 0 -10 +10 0 -15 +15 & -2 -20 +22 = 0 & 0 0 & 0 já estão aplicados aos vetores . Na verdade, devemos somar as matrizes correspondentes:
Somando as matrizes:

Resposta

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