Sejam a transformação linear definida por e e polinômios em . Determine: (b) .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por e dois polinômios e no espaço . A parte (b) da questão solicita que calculemos . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar um polinômio a uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aplicar um polinômio a uma transformação linear significa substituir por na expressão do polinômio. Então, temos: Aqui, é a matriz identidade e significa aplicar duas vezes.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo separadamente. Começamos com :

Passo 4

Em seguida, calculamos . Sabemos que: Multiplicando por -5:

Passo 5

Agora, vamos calcular , ou seja, aplicar duas vezes. Primeiro, aplicamos a : Simplificando: Então, .

Passo 6

Agora, somamos todos os termos que calculamos: No entanto, notamos que e já estão aplicados aos vetores . Na verdade, devemos somar as matrizes correspondentes: Somando as matrizes:

Resposta

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Considere a cônica cuja equação no plano é dada por (b) Determine as coordenadas do centro desta cônica.
Sejam e transformações lineares definidas por Determine: (f) .
Sejam e transformações lineares definidas por Determine: (c) .
Escreva a equação reduzida da elipse, dados (a) centro , um dos focos e um dos vértices .