Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja (b) Determine as coordenadas do centro desta cônica.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Passo 1
Beleza, temos uma equação de uma cônica no plano
:
Vamos trabalhar com essa equação para colocar ela numa forma mais simples, conhecida como forma reduzida. Para isso, vamos precisar usar mudanças de coordenadas, especialmente para eliminar o termo
, que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos. Depois de simplificar, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos quadráticos na equação:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Para eliminar o termo
e facilitar a identificação da cônica, precisamos girar o sistema de coordenadas. A rotação de coordenadas é dada por:
Escolhemos o ângulo
de forma que o termo
desapareça na nova equação.
Passo 3
O ângulo
que elimina o termo
é dado por:
Substituindo os valores de
,
e
:
Sabemos que
, então
, logo
.
Passo 4
Agora, aplicando a rotação de
, temos:
Sabemos que:
Substituindo na transformação:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original e simplificando, a nova equação na coordenada
não terá o termo
. Após os cálculos, a equação reduzida fica na forma:
Onde os coeficientes são ajustados conforme as substituições feitas.
Passo 6
Após simplificar, a equação resultante indica que estamos lidando com uma hipérbole, já que os coeficientes quadráticos de
e
possuem sinais opostos.
Resposta
Após realizar mudanças de coordenadas rotacionando
para eliminar o termo
, a equação reduzida mostra que a cônica é uma hipérbole. O centro dessa hipérbole pode ser determinado resolvendo as equações lineares resultantes, e o esboço no sistema
refletirá essa estrutura com seus ramos característicos.
Exercícios relacionados
Sejam
e
vetores não nulos e
. Sabendo que
determine os possíveis valores de
para que:
Sejam
e
vetores não nulos e
. Sabendo que
determine os possíveis valores de
para que:
*Dadas duas matrizes simétricas
e
de ordem
.
(a) Prove que é simétrica.
(b) Prove que se , então
é simétrica.
(a) Prove que
(b) Prove que se
Seja
a transformação linear definida por
. Quais dos seguintes vetores estäo em Nuc (T)?
©
©