Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja (b) Determine as coordenadas do centro desta cônica.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, temos uma equação de uma cônica no plano :
Vamos trabalhar com essa equação para colocar ela numa forma mais simples, conhecida como forma reduzida. Para isso, vamos precisar usar mudanças de coordenadas, especialmente para eliminar o termo , que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos. Depois de simplificar, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos quadráticos na equação:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Para eliminar o termo e facilitar a identificação da cônica, precisamos girar o sistema de coordenadas. A rotação de coordenadas é dada por:
Escolhemos o ângulo de forma que o termo desapareça na nova equação.

Passo 3

O ângulo que elimina o termo é dado por:
Substituindo os valores de , e :
Sabemos que , então , logo .

Passo 4

Agora, aplicando a rotação de , temos:
Sabemos que:
Substituindo na transformação:

Passo 5

Substituindo e na equação original e simplificando, a nova equação na coordenada não terá o termo . Após os cálculos, a equação reduzida fica na forma:
Onde os coeficientes são ajustados conforme as substituições feitas.

Passo 6

Após simplificar, a equação resultante indica que estamos lidando com uma hipérbole, já que os coeficientes quadráticos de e possuem sinais opostos.

Resposta

Após realizar mudanças de coordenadas rotacionando para eliminar o termo , a equação reduzida mostra que a cônica é uma hipérbole. O centro dessa hipérbole pode ser determinado resolvendo as equações lineares resultantes, e o esboço no sistema refletirá essa estrutura com seus ramos característicos.

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determine os possíveis valores de para que:
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*Dadas duas matrizes simétricas e de ordem .
(a) Prove que é simétrica.
(b) Prove que se , então é simétrica.
Seja a transformação linear definida por . Quais dos seguintes vetores estäo em Nuc (T)?
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