*Dadas duas matrizes simétricas
e
de ordem
.
(a) Prove que
é simétrica.
(b) Prove que se
, então
é simétrica.
(a) Prove que
(b) Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes simétricas! A questão tem duas partes:
(a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
(b) Mostrar que o produto de duas matrizes simétricas que comutam é simétrico.
Para isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e como funciona a soma e o produto de matrizes.
(a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
(b) Mostrar que o produto de duas matrizes simétricas que comutam é simétrico.
Para isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e como funciona a soma e o produto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal.
Passo 3
Vamos para a parte (a): Provar que
é simétrica.
Sabemos que e
são simétricas, então:
Sabemos que
Queremos mostrar que
.
Passo 4
Calculando a transposta de
:
Mas já sabemos que
e
, então:
Portanto:
Passo 5
Isso mostra que
é igual à sua transposta, ou seja,
é simétrica. Parte (a) resolvida!
Passo 6
Agora vamos para a parte (b): Provar que, se
, então
é simétrica.
Primeiro, lembramos que uma matriz é simétrica se
.
Primeiro, lembramos que uma matriz
Passo 7
Vamos calcular a transposta de
:
Como
e
são simétricas, temos
e
. Então:
Passo 8
Mas, pela condição dada, sabemos que
. Então:
Passo 9
Isso mostra que
, ou seja,
é igual à sua transposta. Portanto,
é simétrica.
Resposta
(a) A matriz
é simétrica.
(b) Se
, então a matriz
é simétrica.