*Dadas duas matrizes simétricas e de ordem .
(a) Prove que é simétrica.
(b) Prove que se , então é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes simétricas! A questão tem duas partes:
(a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
(b) Mostrar que o produto de duas matrizes simétricas que comutam é simétrico.
Para isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e como funciona a soma e o produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal.

Passo 3

Vamos para a parte (a): Provar que é simétrica.
Sabemos que e são simétricas, então:
Queremos mostrar que .

Passo 4

Calculando a transposta de :
Mas já sabemos que e , então:
Portanto:

Passo 5

Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica. Parte (a) resolvida!

Passo 6

Agora vamos para a parte (b): Provar que, se , então é simétrica.
Primeiro, lembramos que uma matriz é simétrica se .

Passo 7

Vamos calcular a transposta de :
Como e são simétricas, temos e . Então:

Passo 8

Mas, pela condição dada, sabemos que . Então:

Passo 9

Isso mostra que , ou seja, é igual à sua transposta. Portanto, é simétrica.

Resposta

(a) A matriz é simétrica.
(b) Se , então a matriz é simétrica.

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