*Dadas duas matrizes simétricas A e B de ordem n.
(a) Prove que A+B é simétrica.
(b) Prove que se A B=B A, então A B é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes simétricas! A questão tem duas partes:
(a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica.
(b) Mostrar que o produto de duas matrizes simétricas que comutam é simétrico.
Para isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e como funciona a soma e o produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal.

Passo 3

Vamos para a parte (a): Provar que A + B é simétrica.
Sabemos que A e B são simétricas, então:
A = A^T e B = B^T
Queremos mostrar que (A + B)^T = A + B.

Passo 4

Calculando a transposta de A + B:
(A + B)^T = A^T + B^T
Mas já sabemos que A^T = A e B^T = B, então:
A^T + B^T = A + B
Portanto:
(A + B)^T = A + B

Passo 5

Isso mostra que A + B é igual à sua transposta, ou seja, A + B é simétrica. Parte (a) resolvida!

Passo 6

Agora vamos para a parte (b): Provar que, se A B = B A, então A B é simétrica.
Primeiro, lembramos que uma matriz C é simétrica se C = C^T.

Passo 7

Vamos calcular a transposta de A B:
(A B)^T = B^T A^T
Como A e B são simétricas, temos A^T = A e B^T = B. Então:
B^T A^T = B A

Passo 8

Mas, pela condição dada, sabemos que A B = B A. Então:
(A B)^T = B A = A B

Passo 9

Isso mostra que (A B)^T = A B, ou seja, A B é igual à sua transposta. Portanto, A B é simétrica.

Resposta

(a) A matriz A + B é simétrica.
(b) Se A B = B A, então a matriz A B é simétrica.

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